這個無窮根式是先前加入一個 manim 群所遇到的入群問題。當(dāng)時用 Python 寫了個逼近式，但一直不了解這個題目的設(shè)計原理。後來再做臺大資工入學(xué)二階考題時，又遇到了這個神秘的無窮根式。在網(wǎng)上問朋友，才知道這似乎與印度數(shù)學(xué)天才拉瑪努金有關(guān)。

聽到拉馬努金式子的第一反應(yīng)就是是從天而降，無法理解。但後來仔細(xì)分析其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，才發(fā)覺這其實(shí)就是?n^2 = 1+(n-1)(n+1) 反覆迭代的結(jié)果。

掌握這個原理，也可得類似的逼近式。例如，下式就是用 n^2= (n+2)+(n-2)(n+1) 而得到。

這一節(jié)主要與大家介紹這個無限根式的逼近式，在分析其迭代的關(guān)係後，利用 Geogebra?的動態(tài)文本與序列來產(chǎn)生這迭代根式。

任務(wù)一：根式文本的輸入

首先，用 LaTeX 輸入多重根式。LaTeX 的根式指令為 \sqrt{....} 。通過多層 sqrt 的包覆就可以得連續(xù)根式的效果。

對於有規(guī)律的多重根式，可以使用 sequence 與 sum 來生成這些根式多重根式。在這使用?

Sequence( "\sqrt{1 + " + (m) , m, 3,6)? 就可以生成如下? 4 串文字。再通過 sum 就可將這些文字連接在一起。

可留意到上面的 sl1 其實(shí)是缺少很多 } 。但在 Geogebra ?[插入文字] 中使用?sum(Sequence( "\sqrt{1 + " + (m) , m, 3,6)? ) 會自動補(bǔ)上右方的括號。可以完整的顯示 LaTeX 根式。

任務(wù)二：改變序列長度與文字大小

為了文本變化長度，引入兩個滑動條?k=4, n=3 。其中 k 控制根號的數(shù)量， n?為根式的起值。將上個任務(wù)中 sum(Sequence( "\sqrt{1 + " + (m) , m, 3,6)? ) 的 3, 6 改為 n-1, k-1 。

在可控制項(xiàng)數(shù)後， 隨著?k 變大，文字會變很長，若希望根式文本可動態(tài)改變大小，可搭配 scalebox 來縮放文本?？s放比例參數(shù)設(shè)定為 2.4*0.88^k 。大家可再調(diào)配合適的數(shù)值來決定大小。

任務(wù)三：文字上色與逐次顯示文字

在說明這個式子迭代時，使用 red{...}, blue{...} 就可對文字上色，並用滑動條與條件顯示來控制文本漸次出現(xiàn)的效果。

在文本區(qū)使用 \red, \blue 來將不同區(qū)分顏色。

小結(jié)

這節(jié)最想與大家分享的就是迭代根式的推論。其基本原理竟然只是反覆迭代 n = 1+(n-1)(n+1) 的展開。而用?Geogebra 來動態(tài)展示這些多重的根式文本也相當(dāng)簡潔方便。並可調(diào)用 scalebox 與顏色來讓 Geogebra 成為展示定理的方便工具。

歡迎大家分享一些用 Geogebra 來展示數(shù)列的案例。最後推薦大家可學(xué)習(xí)另一個用 Geogebra 文本來說明 pi^2/6 的逼近式。

相關(guān)連結(jié)

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/je9cbqje?

【Bili】https://www.bilibili.com/video/BV1oK4y1K7Jd?

【youtube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5KyaXNM446ajog0L7Y_Qsb8?