感謝 喬木心心 提到的這個創(chuàng)意??！

由于我水平有限，以下只能算我嘗試解題的記錄、學(xué)習(xí)筆記，像“納什均衡”等概念都是第一次接觸，可能發(fā)生理解錯誤、計算錯誤、表述錯誤等，最后結(jié)論也不確定對，歡迎指正！

書接上文~

5（布）勝0（石頭），得5分。

0（石頭）勝2（剪刀），得2分。

2（剪刀）勝5（布），得7分。

有沒有可以取得最優(yōu)解的策略？

5. 試試解類似的題——帶詳細過程

百度百科“納什平衡”里“硬幣正反”案例有詳細的解題過程[1]，我跟著它的思路走，沒有感覺哪里不對。但我無法確定這樣做是對的，我找不到出處。

知乎中“石頭剪刀布勝負不同權(quán)重會導(dǎo)致什么策略解？”問題，“Richard Xu”給出了答案[3]?。我也無法確定答案是對的。我想嘗試用剛才的解題方法做一下知乎這道題，然后跟答主給的答案對一下。

從知乎上復(fù)制下來的問題內(nèi)容：

比如假設(shè)石頭勝利可以得到1元，剪刀勝利可以得到0.8元，布勝利可以得到0.5元。

那么出每種的策略應(yīng)該是什么？

我畫了個表。這個表里，逗號前面是A的收益，逗號后面是B的收益。

用P剪刀代表我出剪刀的概率；用P石頭代表我出石頭的概率；用P布代表我出布的概率。

在對方出剪刀的情況下，我得到的錢是P剪刀 * 0 + P石頭 * 1 + P布 * 0；

在對方出石頭的情況下，我得到的錢是P剪刀?*?0 + P石頭 * 0 + P布 * 0.5；

在對方出布的情況下，我得到的錢是P剪刀?*?0.8 + P石頭 * 0 + P布 * 0。

還可以知道，P剪刀?+ P石頭 + P布?= 1

為了使利益最大化，應(yīng)該在對手出剪刀或石頭或布的時候我的收益都相等（不然在這個游戲中，對方可以改變剪刀石頭布出現(xiàn)的概率讓我的期望收入減少）[1]，由此列出方程就是

P剪刀?*?0 +?P石頭?* 1 +?P布?* 0?

=?P剪刀?*?0 +?P石頭?*?0?+?P布?* 0.5?

=?P剪刀?*?0.8?+?P石頭?*?0?+?P布?* 0

也就是，P石頭?* 1 =?P布?* 0.5 =?P剪刀?*?0.8

再結(jié)合，?P剪刀?+?P石頭?+?P布?=?1

可以得到，

P剪刀 = 5/17；P石頭?= 4/17；P布?= 8/17

跟答主的答案不一樣啊，（掀桌.jpg），文章寫不下去了，打不了卡了。

我仔細看了答主的解答。

答主認為“贏家獲得的錢來自于輸家輸?shù)舻腻X”。我前面是以“贏家獲得錢，輸家沒有損失”來算的。讓我以“贏家獲得多少錢，輸家就失去多少錢”來再算一遍。

我又畫了個表。這個表里，逗號前面是A的收益，逗號后面是B的收益。

用P剪刀代表我出剪刀的概率；用P石頭代表我出石頭的概率；用P布代表我出布的概率。

在對方出剪刀的情況下，我得到的錢是P剪刀?* 0 +?P石頭?* 1 +?P布?* （- 0.8）；

在對方出石頭的情況下，我得到的錢是P剪刀?*?（- 1） +?P石頭?* 0 +?P布?* 0.5；

在對方出布的情況下，我得到的錢是P剪刀?*?0.8 +?P石頭?* （- 0.5）?+?P布?* 0。

為了使利益最大化，應(yīng)該在對手出剪刀或石頭或布的時候我的收益都相等（不然在這個游戲中，對方可以改變剪刀石頭布出現(xiàn)的概率讓我的期望收入減少）[1]，由此列出方程就是

P剪刀?*?0?+?P石頭?*?1?+?P布?*?（-?0.8）

=?P剪刀?*?（-?1）?+?P石頭?* 0 +?P布?* 0.5

=?P剪刀?*?0.8 +?P石頭?* （- 0.5）?+?P布?*?0

也就是，

P石頭?*?1?+?P布?*?（-?0.8）=?P剪刀?*?（-?1） +?P布?* 0.5 =?P剪刀?*?0.8 +?P石頭?* （- 0.5）

再結(jié)合，?P剪刀?+?P石頭?+?P布?=?1

可以得到，

P剪刀?=?5/23；P石頭?= 8/23；P布?= 10/23

跟答主給的答案一樣。

結(jié)論

如果“贏家獲得錢，輸家沒有損失”，那么用P剪刀?= 5/17；P石頭?= 4/17；P布?= 8/17這種概率出石頭剪刀布是最優(yōu)解，在雙方都采取最優(yōu)解的時候，平均每次雙方獲益都是4/17元；

如果“贏家獲得多少錢，輸家就失去多少錢”，那么用P剪刀?=?5/23；P石頭?= 8/23；P布?= 10/23這種概率出石頭剪刀布是最優(yōu)解，在雙方都采取最優(yōu)解的時候，平均每次雙方獲益都是0元。

6.?解本題——過程簡化

5（布）勝0（石頭），得5分。

0（石頭）勝2（剪刀），得2分。

2（剪刀）勝5（布），得7分。

如果贏家獲得分數(shù)，輸家沒有損失：

P剪刀?*?0?+?P石頭?*?2?+?P布?*?0

=?P剪刀?*?0?+?P石頭?* 0 +?P布?* 5

=?P剪刀?*?7 +?P石頭?* 0?+?P布?*?0

再結(jié)合，?P剪刀?+?P石頭?+?P布?=?1

可以得到，P剪刀?= 10/59；P石頭?=?35/59；P布?=?14/59

如果贏家獲得分數(shù)，輸家扣除相應(yīng)分數(shù)：

P剪刀?*?0?+?P石頭?*?2?+?P布?*?（- 7）

=?P剪刀?* （- 2）?+?P石頭?* 0 +?P布?*?5

=?P剪刀?*?7?+?P石頭?* （-5）?+?P布?*?0

再結(jié)合，?P剪刀?+?P石頭?+?P布?=?1

可以得到，P剪刀?= 5/14；P石頭?=?1/2；P布?= 1/7

結(jié)論

如果“贏家獲得分數(shù)，輸家沒有損失”，那么用P剪刀?= 10/59；P石頭?=?35/59；P布?=?14/59這種概率出石頭剪刀布是最優(yōu)解，在雙方都采取最優(yōu)解的時候，平均每次雙方獲益都是70/59分；

如果“贏家獲得分數(shù)，輸家扣除相應(yīng)分數(shù)”，那么用P剪刀?= 5/14；P石頭?=?1/2；P布?= 1/7這種概率出石頭剪刀布是最優(yōu)解，在雙方都采取最優(yōu)解的時候，平均每次雙方獲益都是0分。

7.?果殼網(wǎng)“美女主動搭訕？小心數(shù)學(xué)陷阱”文章摘錄

我在最后好像找到百度百科“納什平衡”里“硬幣正反”解法的出處了，有可能是來自果殼網(wǎng)里一篇叫“美女主動搭訕？小心數(shù)學(xué)陷阱”的文章。

這篇文章有講到“硬幣正反”案例的出處：[2]

還記得瑪麗蓮?沃斯?莎凡特（Marilyn vos Savant）嗎？她是吉尼斯世界記錄認定的最高IQ人類，在雜志《Parade》上開過一個名叫“問問瑪麗蓮”（Ask Marilyn）的專欄，專門解決讀者的各種疑難雜題……

2002年3月31日的“問問瑪莉蓮”專欄上刊登了這么一道趣題：你正在圖書館枯坐，一位陌生美女主動過來和你搭訕，并要求和你一起玩?zhèn)€數(shù)學(xué)游戲（這不是死理性派最期待的嘛）。美女提議……

這篇文章里面講純策略和混合策略感覺還挺通俗的：[2]

人們在玩游戲的時候總會自己制定一些策略。在博弈論中，策略（strategy）有兩種，一種是確定的，稱為純策略（pure strategy），在什么情況下出什么牌、做出什么選擇都已經(jīng)定好，只需要照章辦事。另一種是隨機的，叫作混合策略（mixed strategy），給你的所有動作都定一個概率，按概率隨機從中選一個。人們在說到隨機的時候，直覺上傾向于認為各種情況等概率出現(xiàn)，而有時候，控制某些情況出現(xiàn)的概率卻會產(chǎn)生神奇的效果。

這篇文章是這樣講“納什均衡”的：[2]

在有限人的游戲中，總存在這樣一種情況，每個人都能采取一種策略，使得他的利益不能再增大了。這就是博弈論中重要的納什均衡（Nash Equilibrium）。

參考

[1] “納什平衡”，百度百科，https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%B3%E4%BB%80%E5%B9%B3%E8%A1%A1/1325910

[2] “美女主動搭訕？小心數(shù)學(xué)陷阱”，果殼網(wǎng)，https://www.guokr.com/article/56198/

[3] 石頭剪刀布勝負不同權(quán)重會導(dǎo)致什么策略解？”，知乎，https://www.zhihu.com/question/38868420