“B事件發(fā)生的條件下，A事件發(fā)生的概率”?

? ?"在A集合內(nèi)有多少B的樣本點(diǎn)"？

?“在B約束條件下，A發(fā)生的概率變化為？”

?“B事件中的一個(gè)樣本點(diǎn)，同時(shí)也落在A樣本點(diǎn)集合的概率是多少”

?“將B作為樣本空間，則A的概率變?yōu)槎嗌佟?/p>

1.條件概率在古典概率中到底該怎么被定義？

2.從交事件AB來推導(dǎo)條件概率公式

3.在考研古典概率中，條件概率公式的一些不足

4.在現(xiàn)實(shí)生活中如何理解條件概率？

一、條件概率在古典概率中到底該怎么被定義？

? ?我們經(jīng)常把條件概率定義為“B事件發(fā)生的條件下，A事件發(fā)生的概率”，這個(gè)定義如果一開始就扔出來，往往會(huì)對后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生誤導(dǎo)。

? ?因?yàn)锽事件發(fā)生可以看作是“隨機(jī)事件B中的一個(gè)基本樣本點(diǎn)的發(fā)生”，但是古典概率中樣本點(diǎn)都是平等的，所以是不可能互相產(chǎn)生影響的。也就是說事件B中的一個(gè)基本樣本點(diǎn)，就古典概率來講，對A事件中包含的任意樣本點(diǎn)都不會(huì)產(chǎn)生關(guān)系。

? ?這個(gè)推論可以總結(jié)為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?“古典概率的所有樣本點(diǎn)之間都是等概率的，都是平等的”

? ?其實(shí)這就是古典概率的兩條定義之一，那到底在古典概率中，應(yīng)該怎么定義條件概率呢？其實(shí)應(yīng)該定義為

? ? ? ? ? ? ? ?“A隨機(jī)事件中包含的任意一個(gè)樣本點(diǎn)，也同時(shí)屬于B事件的樣本點(diǎn)集合的概率”

? ?那為什么要這樣定義呢，還是需要從交事件P(AB)的計(jì)算中來推導(dǎo)。

二.從交事件AB來推導(dǎo)條件概率公式

? ?交事件的意思就是“A、B同時(shí)發(fā)生的概率”，如果我們知道P(A)和P(B)那么如何計(jì)算P(AB)呢？

許多人都想到直接相乘：

但是P(AB)真的一定等于P(A)乘P(B)嗎？

? ?這里其實(shí)隱藏了一個(gè)條件就是：事件A和事件B兩者沒有任何關(guān)系，只有這樣才能直接相乘。

? ?但是古典概率的各個(gè)樣本點(diǎn)之間的關(guān)系是

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?“古典概率各個(gè)樣本點(diǎn)事件互為互斥事件”

? ?這意味著什么呢？意味著發(fā)生了事件A中的一個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A集合之外的樣本點(diǎn)一定會(huì)不會(huì)發(fā)生。

? ?這也就是說如果事件A，B存在于一個(gè)樣本空間，那么從古典概率的角度來看，它們之間就是一定存在聯(lián)系的，不能這樣直接乘。

? ?那應(yīng)該怎么做呢？我們還是從V-N圖的思路來想，P(AB)可以看作是從樣本空間任意選取一個(gè)樣本點(diǎn)，正好落在AB的重復(fù)交合區(qū)域的概率。

? ?*那么我們已經(jīng)知道P(A)的概率了，也就是“在空間中任意選取一個(gè)點(diǎn)，落在A的概率”，如果我們把范圍再縮小一次，也就是說我們可以得知，在A集合內(nèi)有多少B的樣本點(diǎn)，這樣一個(gè)比例，然后用P(A)去乘這個(gè)比例，就可以得到最終結(jié)果P(AB)。

（注意：我們需要得知的不是“存在于A中，也同時(shí)存在于B中的而樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)”，而僅僅需要得知一個(gè)比例值（如果知道前者，就不需要計(jì)算這么麻煩，直接古典概率定義就好））。

這個(gè)比例值就是條件概率：

所以條件概率的定義出現(xiàn)：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? “B事件中的一個(gè)樣本點(diǎn)，同時(shí)也落在A樣本點(diǎn)集合的概率是多少”

? ?可見，在古典概率中，如果用“B事件發(fā)生的條件下，A事件發(fā)生的概率”這種定義，是不容易推導(dǎo)出條件概率的公式定義的，必須從交事件來推導(dǎo)，但這種推導(dǎo)也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)小疑惑。

三.在考研古典概率中，條件概率公式的一些不足

? ?根據(jù)我上文之前的推導(dǎo)，我們可以推導(dǎo)出這樣的公式：

? ?這個(gè)公式，可以看作是，事件A,B的發(fā)生順序，對AB同時(shí)發(fā)生是沒有影響。

? ?這是因?yàn)楣诺涓怕手械氖录l(fā)生，都可以看作是集合運(yùn)算，而集合運(yùn)算交換律，計(jì)算順序不影響結(jié)果。

但是在現(xiàn)實(shí)世界就不不一定是這樣的了。

四.在現(xiàn)實(shí)生活中如何理解條件概率？

? ?在現(xiàn)實(shí)世界我們遇到很多事件，是具有順序性的，比如零件組裝，如果事件B先執(zhí)行，那么事件A可能就做不了，這應(yīng)該怎么設(shè)計(jì)事件呢。

? ?答案是沒法設(shè)計(jì)，因?yàn)檫@是古典概率本身的定義導(dǎo)致的缺點(diǎn)，如果遇到這樣的事件你就不可以使用古典概率來預(yù)測了，需要換模型了。

? ?那么就單純談古典概率中的條件概率，我們可以理解為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?“B事件中的一個(gè)樣本點(diǎn)，同時(shí)也落在A樣本點(diǎn)集合的概率是多少”

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?“ ?如果B事件必然發(fā)生，則A事件也跟著B事件發(fā)生的概率是多少”

由此推出了v-n圖理解，可以看作是樣本空間的縮?。?/p>

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?“將A作為樣本空間，則B的概率變?yōu)槎嗌佟?/strong>

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