2014年四川高考物理的壓軸題，最后一問的關(guān)鍵點(diǎn)在于解以下的一個(gè)三角方程:

其中，.?

如果讀者因?yàn)槟芰Σ粔虿恢С珠喿x部分章節(jié)，直接想知道這是怎么實(shí)現(xiàn)的，我們建議跳過第一章和第二章的閱讀，閱讀黑部分文字后直接開始第三章。

• 第一部分：直接解析計(jì)算的可信性論證
  

首先，在數(shù)學(xué)上，直接求解這樣一個(gè)三角代數(shù)方程是可行的，它等價(jià)于解這樣一個(gè)二元二次方程：

即，如下帶約束的二次方程：

它的解形式解由mathematica提供：

之后讀者可以將代入上式，舍去不合理的項(xiàng)，得到結(jié)果。以下是mathematica11.3的化簡(jiǎn)過程（反正我直接調(diào)用Wolfram的自然語言（為了查看step-by-step）是崩潰了的）。以下是mathematica的化簡(jiǎn)步驟代碼(我計(jì)算的sin，取的-那個(gè)值)

以下是它的輸出截圖：

當(dāng)然FullSimplify函數(shù)也可以達(dá)到同樣的效果。

看來：在不使用計(jì)算程序作為輔助工具時(shí)，直接進(jìn)行計(jì)算出θ的值這一方法，并不適合在有限時(shí)間里以結(jié)果為導(dǎo)向的中學(xué)生/中學(xué)老師學(xué)習(xí)、教受。

• 第二部分：解的存在性與唯一性證明

我們現(xiàn)在提出一種巧妙的方法來破解該方程：

.

我們把上式B看做θ的函數(shù)，反解出來，有：

注意到

其中??于是：在嚴(yán)格單調(diào)遞增。所以的反函數(shù)在上是存在且唯一的。

于是，如果我們靠猜測(cè)在里找到了一個(gè)，它滿足方程

那么它一定是

關(guān)于θ的唯一解。

解的猜想

我們考慮方程的解，即

根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們有：

代入上式，有

（我到上一步就已經(jīng)看出來了），或者，更明顯的：

顯然，

.

于是我們得到

由第二部分的論述，這樣的解的唯一。

于是，我們有了如下論述：

的解是

。