最美情侣中文字幕电影,在线麻豆精品传媒,在线网站高清黄,久久黄色视频

<sup id="wwww8"></sup>

<tr id="wwww8"></tr>

<sup id="wwww8"><ul id="wwww8"></ul></sup>

歡迎光臨散文網(wǎng) 會員登陸 & 注冊

一個優(yōu)雅的定理（一）

2023-05-28 16:04 作者:奧博格沙特 0人讀過 | 我要投稿

一、定理及其證明

@James_w_l與我發(fā)現(xiàn)如下定理：

已知 $%5Codot%20O$ 為 $%E2%96%B3ABC$ 的外接圓， $%5Codot%20I$ 為 $%E2%96%B3ABC$ 的內(nèi)切圓，D為 $%5Codot%20I$ 與BC的切點， $%5Codot%20O$ 上一點P滿足 $IP%3DIA$ ，則O, D, P共線 $%5Ciff%20OI%2F%2FBC$

定理

證明

①?若 $OI%2F%2FBC$

取旁切圓 $%5Codot%20I_A$ 與BC的切點E，作 $%5Codot%20I$ 直徑DF

引理：A, F, E共線（此引理對任意三角形均成立，無需 $OI%2F%2FBC$ ）

證明：如下圖，取旁心 $I_A$ ，設(shè) $%5Codot%20I$ 與AB切于H， $%5Codot%20I_A$ 與AB切于G

引理

易知 $A%2C%20I%2C%20I_A$ 共線

$%E2%88%B5IH%2F%2FI_AG$

$%E2%88%B4%5Cfrac%7BIA%7D%7BI_AA%7D%3D%5Cfrac%7BIH%7D%7BI_AG%7D%3D%5Cfrac%7BIF%7D%7BI_AE%7D$

$%E2%88%B5IF%2F%2FI_AE$

$%E2%88%B4%E2%88%A0AIF%3D%E2%88%A0AI_AE$

$%E2%88%B4%E2%96%B3AIF%E2%88%BD%E2%96%B3AI_AE$

$%E2%88%B4%E2%88%A0IAF%3D%E2%88%A0I_AAE$

$%E2%88%B4A%2CF%2CE$ 共線

注? 事實上，由 $%5Codot%20I$ 與 $%5Codot%20I_A$ 關(guān)于A位似，F, E為位似對稱點，即得A, F, E共線

圖1

回到本定理，易知P, A關(guān)于OI對稱，D, F關(guān)于OI對稱

故 $O%2CD%2CP$ 共線 $%5Ciff%20O%2CF%2CA$ 共線 $%5Ciff%20O%2CF%2CE$ 共線（由引理）

作 $OM%20%5Cbot%20BC$ 于M，則 $BM%3DCM$

$%E2%88%B5CE%3D%5Cfrac%7BAC%2BBC-AB%7D%7B2%7D%3DBD$

$%E2%88%B4CM-CE%3DBM-BD$

即 $EM%3DDM$

∴OM為DE中垂線

又OI為DF中垂線

∴O為 $Rt%E2%96%B3DEF$ 的外心

即得O為 $Rt%E2%96%B3DEF$ 斜邊EF的中點

∴ O, F, E共線

由前面分析可知O, D, P共線

② 若O, D, P共線

圖2

如圖2，點D, E, F, M的構(gòu)造同①，此時O仍在DE中垂線上

只需證O為EF中點

反證：若O不為EF中點

不妨設(shè)O在EF下方（在上方時類似）

$%E2%88%B5OA%3DOP%2CIA%3DIP%2COI%3DOI$

$%E2%88%B4%E2%96%B3AOI%E2%89%8C%5C%20%E2%96%B3POI$

$%E2%88%B4%E2%88%A0AOI%3D%E2%88%A0POI$

$%E2%88%B5%E2%88%A0AOI%3C%E2%88%A0FOI$

$%E2%88%B4$ 只需證 $%E2%88%A0FOI%3C%E2%88%A0DOI$ 即有矛盾

延長OI至K使 $IK%3DOI$

則 $%E2%88%A0DOI%3D%E2%88%A0OKF%2C%20KF%3DOD$

$%E2%88%B5OD%3COF$

$%E2%88%B4KF%3COF$

$%E2%88%B4%E2%88%A0KOF%3C%E2%88%A0OKF$

即 $%E2%88%A0FOI%3C%E2%88%A0DOI$

矛盾！

∴ O為EF中點

$%E2%88%B4OI%2F%2FBC$

$Q.E.D.$

說明? 證明該定理的關(guān)鍵在于利用內(nèi)心的條件及對稱性，由此想到構(gòu)造旁切圓切點

二、推論

推論

推論1??若 $OI%2F%2FBC$ ，則 $ID%3DPD$

證1（由@James_w_l提供）

由歐拉公式， $OI%5E2%3DR%5E2-2Rr$

易知 $%E2%88%A0OID%3D90%C2%B0$

$%5Cimplies%20OD%5E2%3DOI%5E2%2BID%5E2%3DR%5E2-2Rr%2Br%5E2%3D(R-r)%5E2$

$%5Cimplies%20OD%3DR-r$

由定理可知，O, D, P共線

$%5Cimplies%20PD%3DOP-OD%3DR-(R-r)%3Dr%3DID$

證2

$%E2%88%B5%E2%88%A0IAC%3D%E2%88%A0IAB%2C%5C%20%E2%88%A0OAC%3D90%C2%B0-%E2%88%A0ABC%3D%E2%88%A0BAP$

$%E2%88%B4%E2%88%A0IAP%3D%E2%88%A0IAO$

又∵ A, P關(guān)于OI對稱

$%E2%88%B4%E2%88%A0IPA%3D%E2%88%A0IPO$

由定理可知，O, D, P共線

$%E2%88%B4%E2%88%A0IPO%3D%E2%88%A0IPD$

$%E2%88%B4%E2%88%A0IPA%3D%E2%88%A0IPD$

由 $ID%2F%2FAP$ 即得 $ID%3DPD$

推論2??若 $OI%2F%2FBC$ ，則PI平分 $%E2%88%A0APD$

證明? 由推論1及 $ID%2F%2FAP$ 立得

注? 若用推論1證2來證明推論1，則已有PI平分 $%E2%88%A0APD$

推論3? 若 $OI%2F%2FBC$ ，則 $%E2%96%B3APB%E2%88%BD%E2%96%B3CPD%E2%88%BD%E2%96%B3ACE%2C%20%E2%96%B3APC%E2%88%BD%E2%96%B3BPD%E2%88%BD%E2%96%B3ABE$

證明??由定理可知，O, D, P共線

$%5Cimplies%20%E2%88%A0DPC%3D%E2%88%A0OPC%3D90%C2%B0-%E2%88%A0CBP%3D%E2%88%A0BPA$

又 $%E2%88%A0BAP%3D%E2%88%A0BCP%3D%E2%88%A0DCP$

$%E2%88%B4%E2%96%B3APB%E2%88%BD%E2%96%B3CPD$

∴ $%E2%96%B3APC%E2%88%BD%E2%96%B3BPD$

由定理的證明可知，A, O, E共線

$%5Cimplies%20%E2%88%A0EAC%3D%E2%88%A0OAC%3D90%C2%B0-%E2%88%A0ABC%3D%E2%88%A0BAP$

又 $%E2%88%A0APB%3D%E2%88%A0ACB%3D%E2%88%A0ACE$

$%E2%88%B4%E2%96%B3APB%E2%88%BD%E2%96%B3ACE$

同理， $%E2%96%B3APC%E2%88%BD%E2%96%B3ABE$

$Q.E.D.$

關(guān)于推論逆命題的證明，將在《一個優(yōu)雅的定理（二）》中探討.

本文中的方法為我與@James_w_l的方法，如有雷同，純屬巧合.

如果讀者有其他方法，或者有問題，歡迎分享交流！

標(biāo)簽：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)競賽內(nèi)心平面幾何五心外心旁心點共線問題圓相似

一個優(yōu)雅的定理（一）的評論 (共條)

鄂托克前旗| 库伦旗| 双牌县| 邛崃市| 龙江县| 东丽区| 河南省| 平湖市| 台中县| 尚义县| 治多县| 依兰县| 阿克| 德昌县| 棋牌| 介休市| 北碚区| 蛟河市| 贵定县| 绥化市| 莫力| 景宁| 阳谷县| 定南县| 东宁县| 黄梅县| 福鼎市| 广德县| 阳新县| 临潭县| 类乌齐县| 东乡| 布尔津县| 响水县| 客服| 开江县| 达孜县| 平阴县| 灵宝市| 屯昌县| 灌阳县|

<nav id="wwwww"><code id="wwwww"></code></nav>

<small id="wwwww"></small>