本課程 微積分流形上的微積分 致力于將高維Euclid空間中的微積分（高維微積分）推廣至微分流形上的微積分。高維微積分一般涉及高維曲線、三維體積、三維空間中二維曲面上的積分，就此我需要一般性地獲得 m 維Euclid空間中 r 維曲面上的積分。另一方面，高維微積分涉及的體積、曲線、曲面都僅僅涉及一個曲線/參數(shù)坐標(biāo)（坐標(biāo)卡），然而我們所需實際處理的幾何體往往需要多個坐標(biāo)卡才能確定幾何體的位置并賦予坐標(biāo)，就此需要引入微分流形的概念。

本課程按照多個坐標(biāo)卡以實現(xiàn)局部Euclid化的觀點引入距離空間中的微分流形。基于多重線性函數(shù)的觀點引入流場上的張量場，并基于外積運算研究張量的表示及其代數(shù)性質(zhì)?；谟痴沼^點建立流形上的微分學(xué)，并將相關(guān)微分運算聯(lián)系與連續(xù)介質(zhì)場論?；谕夥e運算建立流形上的積分學(xué)，體現(xiàn)高維微積分中第一類、第二類積分的自然推廣；并基于外微分運算獲得微分流形上的Stokes公式。作為理論聯(lián)系實際的重要方面，本課程特別涉及微分流形在常微分與偏微分方程、經(jīng)典力學(xué)與理論物理中的相關(guān)應(yīng)用，意圖為研習(xí)V.I.Arnold等的相關(guān)著述提供充實的基礎(chǔ)。

微分流形上的微積分 可以主要包括四部分內(nèi)容：

（一）張量代數(shù)?

（二）微分流形上微分學(xué)

（三）微分流形上積分學(xué)

（四）專題性內(nèi)容

第一部分 張量代數(shù)

（1）張量代數(shù)基礎(chǔ)

1.?張量的定義與表示

2. 基本代數(shù)運算

3. 置換運算

4. 置換算子

（2）外積運算

力學(xué)數(shù)學(xué) 謝錫麟

2023年08月06日建立