怎么理解相互獨(dú)立事件？真的是沒有任何關(guān)系的事件嗎？
tag:兩個(gè)事件相互獨(dú)立，并不能說兩個(gè)事件沒有任何影響，更應(yīng)該看作是“對樣本空間和事件B進(jìn)行了等比例約束”。
1.從條件概率的定義來看獨(dú)立事件的定義
2.從古典概率的定義來看獨(dú)立事件的定義
3.P(A|B)和P(A)的關(guān)系是什么？
4.由P(AB)=P(A)P(B)推出“獨(dú)立”
5.從韋恩圖來看獨(dú)立事件的定義
6.為什么多個(gè)事件兩兩獨(dú)立推不出相互獨(dú)立
7.在考研古典概率中，有一個(gè)P(A|B)=P(A)就可以推出兩者是獨(dú)立事件嗎？
8.在考研中，獨(dú)立事件可以看作是“獨(dú)立”的嗎？
1.從條件概率的定義來看獨(dú)立事件的定義
? ? 在考研古典概率中，我們最初都是通過條件概率公式來定義獨(dú)立事件的。
?? ?這從條件概率的角度來理解就是在條件B的情況下，A發(fā)生的概率與之前相比不變。
?? ?所以我們常常理解成，如果兩個(gè)事件互為獨(dú)立事件，則B的發(fā)生對A沒有影響。但這種理解，其實(shí)是有謬誤的，因?yàn)椴⒉皇菦]有影響，只是影響沒有體現(xiàn)在比例值上！。
? ? 也有一種看法是，B的發(fā)生讓A的事件發(fā)生概率保持不變，保持不變本身也可以看作是一種影響，這種思路也可以理解成：
B發(fā)生的同時(shí)，A跟著一起發(fā)生的概率等于全集中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)屬于A的概率
?? ?從這個(gè)角度來看，似乎獨(dú)立事件也不是那么獨(dú)立，條件概率值等于全集發(fā)生概率值，似乎還約束了兩個(gè)事件之間的關(guān)系。不過導(dǎo)致這一切發(fā)生的根源還要從古典概率來入手。
2.從古典概率的定義來看獨(dú)立事件的定義
? ? 因?yàn)楣诺涓怕实亩x是根據(jù)分式比例值定義的，條件概率的定義也是根據(jù)比例值定義的，這就導(dǎo)致一個(gè)問題就是3/5=6/10。
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? ? 原來之所以在事件B的條件約束下，事件A的發(fā)生概率沒有變，是因?yàn)椋?/p>
分子和分母被縮小了相同的比例
? ? 所以我們能說事件B的條件對事件A發(fā)生沒有影響嗎？不能！
? ? 我們只能說事件B的條件對事件A的發(fā)生概率沒有影響！
?? ?很明顯條件A讓B的樣本點(diǎn)中的x6,x7,x8都被排除在外了，所以是造成了影響，但是對概率值是沒有影響的，因?yàn)楦怕手凳且粋€(gè)比例值，3/5和6/10是一樣大的。
? ? 從這一步似乎我們可以看出，為什么多事件的獨(dú)立性，兩兩獨(dú)立推不出相互獨(dú)立。這是因?yàn)?，樣本點(diǎn)之間有重合的，獨(dú)立事件定義中的條件概率可以看作是對樣本空間和事件B進(jìn)行了等比例約束。這種約束，在多事件中，可能有重合的樣本點(diǎn)，這就導(dǎo)致等比例約束被打破了。
3.P(A|B)和P(A)的關(guān)系是什么？
? ? 首先它們不在一個(gè)樣本空間中，所以根本不能看做是一個(gè)事件（包含的樣本點(diǎn)數(shù)量也不一樣），實(shí)際上條件概率更應(yīng)該看作是一個(gè)比例值，而不是一個(gè)事件。
? ? 在考研-古典概率中，如果我們可以得到P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)中的任何一個(gè)，我們就可以推導(dǎo)出這倆一定屬于獨(dú)立事件。
? ? 除此之外，P(A|B)和P(A)之間的其他關(guān)系式，都是沒有太多意義的，不過利用其推出的另外一個(gè)關(guān)系式用處更大，那就是P(AB)=P(A)P(B)
4.由P(AB)=P(A)P(B)推出“獨(dú)立”
? ? 我們之前是利用條件概率來定義獨(dú)立事件，我們討論條件概率的定義是用來解決交事件的計(jì)算，這里我們把獨(dú)立事件也聯(lián)系進(jìn)來。
? ??
?? ?兩個(gè)概率值相乘其實(shí)沒什么實(shí)際意義，一般來講，乘法運(yùn)算表明了兩個(gè)事件的發(fā)生邏輯關(guān)系，所以這里也體現(xiàn)了前者的發(fā)生對后者沒有影響。因此從P(AB)=P(A)P(B)中，我們更可以看出來一種獨(dú)立性出現(xiàn)。
? ? 實(shí)際中，獨(dú)立性也常用來計(jì)算交事件的概率，畢竟如果兩個(gè)事件之間“沒有影響”，計(jì)算同時(shí)發(fā)生的概率值就方便很多，只需要直接相乘就可以，這個(gè)我們不學(xué)獨(dú)立性，也會計(jì)算。
5.從韋恩圖來看獨(dú)立事件的定義
? ? 說實(shí)話，如果兩個(gè)事件之間真的沒有任何聯(lián)系，那其實(shí)沒法用韋恩圖來表示，因?yàn)轫f恩圖的基本單位-樣本點(diǎn)事件，之間都是互斥事件，所以你畫出兩個(gè)事件之間，都是一定存在某些聯(lián)系的。不過，上文我們也講了，不是沒有聯(lián)系，只是這種聯(lián)系沒有體現(xiàn)在概率值上。
所以我們依然可以簡單的畫出來，只要注意全部等比例縮小相同倍數(shù)即可。
6.為什么多個(gè)事件兩兩獨(dú)立推不出相互獨(dú)立
?? ??? ?因?yàn)榈缺壤s放，之間的樣本點(diǎn)可能有重復(fù)的，導(dǎo)致雖然任意選出兩個(gè)事件，都是構(gòu)成獨(dú)立事件的，但全集和事件C的縮放，可能不再成比例了。
? ? 也就是推不出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
? ? 多個(gè)事件，相互獨(dú)立可以推出兩兩獨(dú)立，但兩兩獨(dú)立推不出相互獨(dú)立，也可以從波羅梅奧環(huán)中看出來：
7.在考研古典概率中，有一個(gè)P(A|B)=P(A)就可以推出兩者是獨(dú)立事件嗎？
? ? 可以，我們可以從公式中推導(dǎo)出來，也可以利用古典概率定義的集合性質(zhì)-交換律來想清楚，也可以用韋恩圖來看出來。
??? 因此我們只要看到P(A|B)=P(A)，P(A|B)=P(A)，P(AB)=P(A)P(B)任意一個(gè)，就可以認(rèn)為是獨(dú)立事件。
8.在考研中，獨(dú)立事件可以看作是“獨(dú)立”的嗎？
? ? 可以的，只要在考研中，如果你遇到任何兩個(gè)事件中存在一定關(guān)系，哪怕是非常復(fù)雜不好用或與非來表示的，那也一定不是獨(dú)立事件，構(gòu)不成獨(dú)立事件的三個(gè)等式。
