一、談數(shù)學(xué)函數(shù)定義域：

課本上，對函數(shù)定義如下：

我最初理解是2x+1的范圍是定義域，

因為書中有這么一段話：

對于集合A中的任意一個數(shù)x ，在集合B里都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)。

因為2x+1在集合A里，而x不一定在集合A里，所以2x+1才是定義域，于是我畫了這個圖：

但，后來證明，是我錯了，圖本身沒有錯，錯的是，定義域不是2x+1的范圍，而是x的范圍。

即自變量的取值范圍，用集合表示就是：

可以看到，這里有兩個函數(shù)對應(yīng)關(guān)系，三個集合。

拿函數(shù)定義來說，對于集合A中的任意一個數(shù)x ，在集合B里都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)。

套用在這里，就是：對于集合C中的任意一個數(shù)x,在集合A里都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)。

對于集合A和集合B之間的對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)f(2x+1)的定義域還是x的取值范圍，但x不一定都在集合A里，

也就是說定義域不一定是集合A的子集，所以書上只提到值域是集合B的子集。

二、談數(shù)學(xué)函數(shù)換元法：

1、換元法用集合表示：

用換元法來表示，令t = 2x+1，那么圖就變成如此：

可以看到，通過換元后，出現(xiàn)了一個新的集合，新集合與集合B發(fā)生對應(yīng)關(guān)系，它們的對應(yīng)關(guān)系是f(t)。

那么這個新集合和集合A有什么關(guān)系嗎？

2、換元后集合有沒有改變？

既然2x+1和 t 的取值范圍是一樣的，所以?t變量組成的集合?和?2x+1表達式組成的集合，這兩個集合里面的元素都是一樣的，根據(jù)集合的互異性，兩個集合可以合并為一個集合，就是集合A。

即，換元法并沒有改動集合A。所以，將上圖，稍加改動，

集合A有兩種表達方式，在?t變量組成的集合?的方框中加入 集合A 三個字：

3、換元后定義域有沒有改變？

上圖是將2x+1替換為了t，同時沒有改變集合A，那么我們的函數(shù)表達式也可以由f(2x+1)替換為f(t)。

很明顯換元前后定義域不一樣：

即如果 g(x) = 2x+1 ，t = g(x)，則換元后f(t)的定義域是g(x)的值域。

f(t)的定義域，也就是t的取值范圍，t的取值范圍就是2x+1的取值范圍。

所以f(t)的定義域，當然也等于2x+1的取值范圍。

所以，也就是經(jīng)常說的，換元后，f(t)的定義域就是f(g(x))中的g(x)的取值范圍。

4、換元后函數(shù)表達式怎么改變？

換元后函數(shù)表達式也不一樣，請看下面的集合C:

5、換元后為什么f(t)可以改為f(x)？

換元法通常會將f(t)改為f(x)，用集合表示的話就是（最下面的兩個集合）：

可以看出，雖然將t變?yōu)榱藊，但x的取值范圍和t的取值范圍一樣，所以根據(jù)集合互異性，集合A還是沒有變，

同樣，f(t)換為f(x)，集合B的范圍也沒有變。

6、為什么可以使用換元法？

既然集合A、集合B沒有變，

以及集合A和集合B之間的對應(yīng)也沒有改變。即集合A和集合B之間的元素，在換元前是一一對應(yīng)的或多對一對應(yīng)的，現(xiàn)在仍然是相同的對應(yīng)關(guān)系。

所以，換元法成立。

而且通常換元了兩次，一次是將集合A里面的2x+1，即g(x)換為元素t, 第二次是將t元素換為元素x。

所改變的只是兩個集合之間的不同的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系f，以及它的定義域和函數(shù)表達式。

三、利用換元法求函數(shù)最值

?

欲求最值，需解決問題：

1、函數(shù)的定義域。

2、函數(shù)在定義域的單調(diào)性。

?

所以，主要是求函數(shù)在定義域的單調(diào)性，函數(shù)用集合表示為：

現(xiàn)在函數(shù)用集合表示為：

最值是包含在值域里的，

而f(x)和f(t)是相同的值域，它們都是集合B。

所以求f(t)的最值，就是求f(x)的最值，