極化碼數(shù)學(xué)原理(一) 域流 Filtration

2023-07-11 09:34 作者:樂吧的數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

Filtration 域流，是定義在某個(gè)概率空間 $(%5COmega%2C%20F%2C%20P)$ ?上的。

（錄制的視頻在：https://www.bilibili.com/video/BV1Jj411Z7PD/)

事件空間 F 的多個(gè)子集（子空間），滿足一定條件就構(gòu)成了域流 Filtration。

域流對(duì)應(yīng)的是，獲取的信息逐漸增多這樣的事情。我們舉個(gè)例子，例如投擲三個(gè)硬幣，投擲后硬幣向上的面有可能是正面，記為 Head，縮寫為 H，也可能是背面，記為 Tail,縮寫為 T.

因?yàn)橥稊S三個(gè)硬幣，因此有以下八種可能：

$HHH%20%5C%5C%0A%0AHHT%20%5C%5C%0A%0AHTH%20%5C%5C%0A%0AHTT%20%5C%5C%0A%0ATHH%20%5C%5C%0A%0ATHT%20%5C%5C%0A%0ATTH%20%5C%5C%0A%0ATTT$

即樣本空間 $%5COmega$ ?為：

$%5COmega%20%3D%20%5C%7BHHH%2CHHT%2CHTH%2CHTT%2CTHH%2CTHT%2CTTH%2CTTT%5C%7D$

再?zèng)]有投擲之前，我們只有兩種可能: 沒有投擲，對(duì)應(yīng)是 $%5Cphi$ ?, 另外一種是投擲了，但是沒有告訴你結(jié)果，那么就是所有樣本構(gòu)成的集合? $%5COmega$ ?.

此時(shí)，

$F_0%20%3D%20%5C%7B%5Cphi%2C%20%5COmega%20%5C%7D$ ?.

接下來，告知你第一個(gè)硬幣的投擲結(jié)果，因?yàn)橛袃煞N可能，所以，整個(gè)三個(gè)硬幣的結(jié)果，是下面兩種情況之一：

$A_H%20%3D%20%5C%7B%20HHH%2C%5Cquad%20HHT%2C%5Cquad%20HTH%2C%5Cquad%20HTT%5C%7D%20%5C%5C%0A%0AA_T%20%3D%20%5C%7B%20THH%2C%5Cquad%20THT%2C%5Cquad%20TTH%2C%5Cquad%20TTT%5C%7D%20$

注意， $A_H$ ?的補(bǔ)集是 $A_T$ ，即：

$A_H%5EC%20%3D%20A_T$

此時(shí)，我們可以得到事件空間為:

$F_1%3D%5C%7B%5Cphi%2C%20%5COmega%2C%20A_H%2C%20A_H%5EC%5C%7D$

接下來，如果告知第二個(gè)硬幣的投擲結(jié)果，則有以下四種情況：

$A_%7BHH%7D%3D%5C%7BHHH%2C%5Cquad%20HHT%5C%7D%20%5C%5C%0A%0AA_%7BHT%7D%3D%5C%7BHTH%2C%5Cquad%20HTT%5C%7D%20%5C%5C%0A%0AA_%7BTH%7D%3D%5C%7BTHH%2C%5Cquad%20THT%5C%7D%20%5C%5C%0A%0AA_%7BTT%7D%3D%5C%7BTTH%2C%5Cquad%20TTT%5C%7D%20$

那么，可以得到事件空間為：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%0AF_2%3D%5C%7B%20%26%20%5Cphi%2C%5COmega%2CA_H%2CA_T%2C%20A_%7BHH%7D%2CA_%7BHH%7D%5EC%2CA_%7BHT%7D%2CA_%7BHT%7D%5EC%2CA_%7BTH%7D%2CA_%7BTH%7D%5EC%2CA_%7BTT%7D%2CA_%7BTT%7D%5EC%20%20%20%5C%5C%0A%0A%26A_%7BHH%7D%20%5Ccup%20A_%7BTH%7D%2C%20A_%7BHH%7D%5Ccup%20A_%7BTT%7D%2C%20A_%7BHH%7D%5Ccup%20A_%7BTH%7D%2C%20A_%7BHT%7D%20%5Ccup%20A_%7BTT%7D%5C%7D%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D$