向量究竟是什么？

向量的線性組合，基與線性相關(guān)

矩陣與線性相關(guān)

矩陣乘法與線性變換復(fù)合

三維空間中的線性變換

行列式

逆矩陣，列空間，秩與零空間

克萊姆法則

非方陣

點積與對偶性

叉積

以線性變換眼光看叉積

基變換

特征向量與特征值

抽象向量空間

快速計算二階矩陣特征值

張量，協(xié)變與逆變和秩

目錄

叉積

以線性變換眼光看叉積

叉積

前面章節(jié)介紹了向量的點積，并從線性變換角度展示了其幾何意義，今天我們再來看向量的另一種重要操作：叉積，同樣的，除了叉積的標準計算公式外，我還會從線性變換的角度來做深入理解。

如上圖所示，讓我們把證明的部分放到后面，先給出叉積的定義：向量和向量叉積的結(jié)果就等于其張成平行四邊形的面積，且如果在右側(cè)，結(jié)果是正的，在的左側(cè)，結(jié)果就是負的，對于叉積來講，這意味著順序很重要。

這里再一次出現(xiàn)了四邊形面積的概念，這就讓我們想起了前面講的矩陣行列式的幾何意義，如果在求向量叉積時不知道該平行四邊形的面積，這時就可以換個思路，通過求行列式的值來計算叉積的結(jié)果。

對于，將作為矩陣的第一列，將作為矩陣的第二列，然后計算矩陣的行列式作為叉積的結(jié)果，那為什么和組成的矩陣的行列式就是叉積的結(jié)果呢？

如下圖所示，由和組成的矩陣與將和分別移至和的線性變換是相對應(yīng)的：

如下圖所示，行列式就是變換前后面積變化比例的度量，變換前由和組成的正方形的面積為1，經(jīng)過變換后這個正方形就變成了我們想要的平行四邊形，而用來度量面積變化比例的行列式直接給出了平行四邊形的面積，因為他是從面積為1的正方形變換得來的。

如下圖所示，行列式的計算規(guī)則也正好滿足叉積定向計算法則，也就是當(dāng)v在w左側(cè)時，叉積結(jié)果為負，行列式結(jié)果也為負數(shù)。

同理，也可以得到叉積的如下性質(zhì)：當(dāng)兩個向量越接近垂直時面積越大，也就是叉積越大，越接近平行時，叉積越小。

注意，前面講的內(nèi)容看似很有道理，但是，它并不是叉積真正的含義，叉積的結(jié)果并不是一個標量值，而是一個向量，如下圖所示，真正的叉積是通過兩個不同的三維向量生成一個新的三維向量。

但叉積和前面講的平行四邊形面積仍然有很大關(guān)系，如下圖所示，叉積的結(jié)果是一個向量，向量的長度等于平行四邊形的面積，向量的方向垂直于平行四邊形。

當(dāng)然，垂直于四邊形的向量有兩個，一正一反，哪個才是叉積的結(jié)果向量呢？如下圖所示，這時就要用到右手定則，右手食指指向v的方向，中指指向w的方向，此時，拇指指向的方向就是叉積結(jié)果向量的方向。

那么，叉積的計算方式可以定義成下面的方式：

即便如此，我們?nèi)匀豢梢詫⑾蛄康牟娣e轉(zhuǎn)換成行列式的計算上，如下圖所示，矩陣的第一列是基向量，第二列，第三列為v和w的坐標，行列式的結(jié)果就是叉積結(jié)果。

然而，這種方式容易讓人產(chǎn)生困惑，讓向量作為矩陣的元素是什么意思？要理解這個需要用到前面用到對偶性的知識，我們下一章節(jié)會具體講解。

以線性變換眼光看叉積

????本章節(jié)的主要內(nèi)容就是從線性變換的角度來證明一下上面這個公式，也就是讓大家理解叉積的幾何意義，要想理解本章節(jié)的內(nèi)容，需要大家掌握前面學(xué)習(xí)的知識：行列式和對偶性。

這里給大家做個簡單的回顧：

????對偶性是指每當(dāng)看到一個從多維空間到一維數(shù)軸的線性變換時，該線性變換都有一個與之相對應(yīng)的向量存在，?如下圖所示，二維空間基向量經(jīng)過線性變換后分別落在了4和1的位置，根據(jù)前面學(xué)的知識可知該線性變換就是[4,1]，如果將1*2的矩陣豎著寫就變成了與之對應(yīng)的對偶向量，這是不是有點像轉(zhuǎn)置操作？

如下圖所示，當(dāng)對多維空間中的向量應(yīng)用該線性變換時，等價于該多維空間向量與該對偶向量做點乘。

有了前面的知識鋪墊，接下來讓我們正式開始叉積的理解：

? ? 二維空間的對偶性同樣適用于多維空間，首先根據(jù)向量和定義一個從三維空間到一維數(shù)軸的某種線性變換，然后我們找到與這個線性變換相對應(yīng)的三維對偶向量，假設(shè)叉積就是該對偶向量，對偶向量也就是該線性變換。

現(xiàn)在讓我們再來回顧一下二維版本的叉積的定義，如上圖所示，將向量作為矩陣的列，然后叉積的結(jié)果就是由向量組成平行四邊形的面積，也就是該矩陣的行列式。

現(xiàn)在我們把二維版本的叉積定義推廣到三維中，如上圖所示，三個向量的叉積就是三個向量組成平行六面體的體積，也就是矩陣的行列式。

當(dāng)然上面的叉積定義并不是真正的叉積定義，真正的叉積結(jié)果是一個向量，但這卻給我們提供了一種思路，如上圖所示，我們把上面的u替換成未知量，v和w不變，這樣我們就得到一個從三維空間到一維數(shù)軸的函數(shù)了，該函數(shù)的幾何意義是：對于任意一個輸入向量（x,y,z），都會有該向量和v， w構(gòu)成的平面一起確定一個平行六面體，平行六面體的體積等于一個數(shù)，該函數(shù)就是輸出這個體積。

雖然這個函數(shù)有點無厘頭，但我們暫時按照這個思路去理解它，這對理解叉積很關(guān)鍵，因為該變換是線性的。且是從三維到一維的變換，所以我們就能用到前面的對偶性思想了。

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既然是從三維空間到一維空間的變換，如上圖所示，就存在一個1*3的矩陣來表達上面的線性變換，根據(jù)對偶性的思想，可以轉(zhuǎn)換為向量的點積，我們用向量代表該變換.

我們先把等式兩邊計算展開，顯然，v和w的特定組合就是我們要尋找的p的坐標分量。

如上圖所示，讓我們再回顧一下前面叉積的計算方法，這兩個公式是不是有點關(guān)聯(lián)？讓我們繼續(xù)沿著這個線索探索下去。

如上圖所示，什么樣的向量P能滿足下面這些特質(zhì)呢？P與未知向量（x,y,z）的點積的結(jié)果等于該未知向量與v，w組成的平行六面體體積，等式左邊，如下圖所示，我們知道點積的幾何意義是未知向量到P的投影長度與向量P長度的乘積。

等式右邊，如下圖所示，平行六面體的體積等于底乘以高，底就是v和w組成的平行四邊形的面積，高是（x,y,z）到平行四邊形垂直方向上的投影，

?P滿足什么條件能讓等式相等呢？只有P是v和w的叉積向量時，等式才會相等，等式左邊：P的長度*（x,y,z）到P的投影長度，等式右邊：平行四邊形的面積*（x,y,z）到四邊形垂直方向的投影，如果P時v和w的叉積結(jié)果，那P的長度就等于平行四邊形的面積，且P是垂直于v和w形成的平行四邊形。