如何做出一流學(xué)問？中國如何培養(yǎng)大數(shù)學(xué)家？中國學(xué)生擅長答題，在國際數(shù)學(xué)奧賽上多次奪冠，但為何難以產(chǎn)生大數(shù)學(xué)家？9月22日晚7點(diǎn)，“人文清華”講壇，著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎首位華人得主、清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心主任、清華大學(xué)求真書院院長丘成桐教授發(fā)表演講《學(xué)“問”》，一流的學(xué)問始于一流的問題，想要在本土培養(yǎng)大師，就從鼓勵年輕人多提問題開始。他指出，未來中國培養(yǎng)的大數(shù)學(xué)家，必須貫通數(shù)學(xué)歷史，掌握跨學(xué)科前沿工具，擁有學(xué)科融合能力和博古通今的視野。只有數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科足以引領(lǐng)世界，中國才能成為科技強(qiáng)國，真正解決“卡脖子”問題。線上線下約1268萬觀眾跟隨丘成桐先生一起思考一流的問題應(yīng)該怎么問，一流的人才應(yīng)該怎么學(xué)。
以下為演講實(shí)錄精簡版，約11000字。（全文讀完約15分鐘）

講座現(xiàn)場

今天，我很高興能夠在這里與大家一起討論做學(xué)問的過程。1979 年，我第一次回國，到今天差不多 40 多年，與很多中國數(shù)學(xué)家、科學(xué)家來往，遇到了很多很好的朋友、學(xué)生，同時盡我最大的努力培養(yǎng)華人數(shù)學(xué)人才。最近十年來，我花了不少功夫在清華大學(xué)，聘請了一批世界第一流學(xué)者加盟。我很高興地看到，中國的數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)蒸蒸日上，這幾年有了很大發(fā)展。一個很重要的事情我始終希望跟我的同事、學(xué)生們分享，那就是，中國數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)的前途到底該怎么走。

我們要走的是一個很好的方向，是能夠帶領(lǐng)全世界數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)走向的方向，才算得上世界第一流。假如我們做學(xué)問都是跟著人家后面走，始終不能解決重要的問題。我們遇到的所謂“卡脖子”的問題，正是因?yàn)樵诤芏嘀匾獑栴}上，還是跟著別人走。原創(chuàng)者，在自己創(chuàng)作的基礎(chǔ)上跳躍前進(jìn)比較容易；至于非原創(chuàng)者，一般來說，只能夠在他人創(chuàng)作的基礎(chǔ)上改變一點(diǎn)點(diǎn)，走得不遠(yuǎn)，結(jié)果不得不受制于人。

今天我想花點(diǎn)功夫跟大家討論，什么是第一流的學(xué)問，特別是第一流的學(xué)問在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是如何產(chǎn)生的。

講座現(xiàn)場

什么是學(xué)與問？

首先，我們要曉得，學(xué)問有兩個部分，一個是“學(xué)”，一個是“問”。這個問題兩千多年前孔子就說：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆?！彼伎计鋵?shí)就是問，思考與問問題差不了太遠(yuǎn)，要問就必須思考，思考就會提出問題，這是分不開的。我們中國人學(xué)習(xí)很好，考試考得很好，高考考出很高的分?jǐn)?shù)，甚至奧數(shù)也表現(xiàn)得很好。我們學(xué)習(xí)別人提出來的各種方法和技巧，磨練得很熟，再去回答別人問出來的問題。這很好，表示我們很有能力。但是，僅僅善于答題，對于學(xué)問、對于科學(xué)、對于數(shù)學(xué)的發(fā)展來說，能產(chǎn)生多大的貢獻(xiàn)呢？可惜，貢獻(xiàn)并不多。我們跟著人家后面走，解決人家提出的問題，這些問題也不見得是大問題，而是小問題。我們雖然不斷地獲得奧數(shù)金牌，但是還沒有能夠出現(xiàn)一大批解決真正偉大的數(shù)學(xué)問題的學(xué)者。因此，我們一定要曉得到底如何做學(xué)問，如何做一流的學(xué)問，這也是我今天要講的重點(diǎn)。我也會講幾個例子，希望大家能夠感受到我的想法。

其次，做學(xué)問除了“問”以外，還要勤奮學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)是一個很重要的事情，沒有基本工具，光靠思考沒有用?？鬃诱f“思而不學(xué)則殆”，就是說只思考不學(xué)習(xí)，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。從希臘到今天，數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)有 2500 年的歷史，在這中間有很多頗具天賦，甚至可以稱之為天才的大數(shù)學(xué)家，他們累積了很多了不起的學(xué)問。從當(dāng)年希臘偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得、畢達(dá)哥拉斯、阿基米德，到后來的費(fèi)馬、笛卡爾、牛頓、高斯、歐拉、拉格朗日、黎曼、希爾伯特等，都是天下古今少有的偉大學(xué)者。他們?yōu)槭裁茨軌蚯Ч帕裘?？因?yàn)槭撬麄円粚右粚拥貙?shù)學(xué)這幢大廈搭建得越來越高。無論我們天分有多好，有多擅長思考，我們的學(xué)問、創(chuàng)造力都必須以他們的學(xué)問為基礎(chǔ)。例如，就算是一個普通的工程學(xué)家，也不可能不用微積分。微積分就是從阿基米德那個時候慢慢發(fā)展，由牛頓、萊布尼茨最終完成。我們沒有辦法跳躍，每一步都必須建立在前人學(xué)問的基礎(chǔ)上。勤奮是必不可少的，我們要學(xué)習(xí)偉大學(xué)者的學(xué)問，打好基礎(chǔ)，才能繼續(xù)向前走。牛頓講道：“如果說我看得比別人更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏??！边@絕對不是謙虛而已。牛頓做的很多東西，先前的科學(xué)家、數(shù)學(xué)家也曾考慮過，只是沒有他考慮的這么完美，后世就不再提及了。事實(shí)上，牛頓的工作都是在前人的基礎(chǔ)上做出來的。今天，我們要帶領(lǐng)世界學(xué)問的潮流，非將前人的學(xué)問學(xué)好不可，勤奮是絕對重要的。我這幾年來一直講數(shù)學(xué)史，就是希望大家曉得學(xué)問是如何傳承下來的。

為什么要問問題？

“尋天人樂處，拓萬古心胸”，這是我父親寫的對聯(lián)，我做了一點(diǎn)修改。究其根源，我們所做的學(xué)問，尤其科學(xué)和數(shù)學(xué)，都與大自然有很密切的關(guān)聯(lián)，我們要在追尋大自然奧秘的過程中，找到它最有意義、最有樂趣之處，從而對大自然有深入的了解。假如我們不了解、不欣賞大自然的奧秘與樂趣，學(xué)問是始終做不好的，這就是“尋天人樂處”。“拓萬古心胸”是說，做學(xué)問不只是為了高考、為了拿獎、為了做院士、為了拿諾貝爾獎金，而是希望所作的學(xué)問能夠在科學(xué)史上留下重要的軌跡。我們今天讀詩經(jīng)、楚辭以及李白、杜甫的詩詞，雖然過了千年，還是覺得很有意義，能夠引發(fā)我們的共鳴。他們對大自然的美、對人世喜怒哀樂的描述，讓人覺得親切自然，這就是我說的“天人樂處”。我們做的學(xué)問也要引起后代的共鳴，讓他們曉得我們今天開創(chuàng)的方向、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是多么有意義。

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我們要考慮整個學(xué)問向前走的方向到底是什么，應(yīng)該如何去認(rèn)識數(shù)學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，這是許多大數(shù)學(xué)家常常思考的問題。大學(xué)問家往往會提出很多問題，這一點(diǎn)很重要。但中國的科學(xué)家不大愛問問題，不大問自己原創(chuàng)的問題，更多的是解答別人的問題。雖然解答得不錯，但這不見得是數(shù)學(xué)和科學(xué)的真髓，重要的是要找出自己的方向。中國最偉大的一篇講問問題的文章是屈原的《天問》，里面問了很多問題，文章很浪漫，但欠缺系統(tǒng)的思維和邏輯思考的結(jié)構(gòu)，也沒有足夠的工具回答這些問題，始終沒有完成“問”的主要精神。

《禮記·學(xué)記》說：“善待問者如撞鐘，叩之以小者則小鳴，叩之以大者則大鳴?！睂ξ覀儊碚f，這個鐘，就是大自然和萬物運(yùn)行的規(guī)律。深入的問題能夠指向大自然奧秘的深處，很快引出其它有意義的相關(guān)問題。

希爾伯特二十三問

在數(shù)學(xué)歷史上，一個非常重要的問題集，就是希爾伯特 23 問。1900 年 8 月 8 日，這位德國數(shù)學(xué)家在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上做題為《數(shù)學(xué)問題》的演講。希爾伯特認(rèn)為，從 19 世紀(jì)進(jìn)入 20 世紀(jì)，提出一些重要的問題，對于推動學(xué)科進(jìn)步的作用毋庸置疑。他說，一個學(xué)科能夠產(chǎn)生大量重要問題，才能保持活力。他是當(dāng)時最偉大的數(shù)學(xué)家，吸引了不少人聽這個演講。這 23 問基本上引領(lǐng)了數(shù)學(xué)界五十年的發(fā)展。23 問不是全部由他提出，也有從前大數(shù)學(xué)家的問題，比如黎曼等。他將重大的問題收集起來，又增加了自己的問題，這是希爾伯特引領(lǐng)一代風(fēng)騷的重要時刻。這些問題至今并沒有全部解決，但其中部分問題的解決，就已經(jīng)促發(fā)了數(shù)學(xué)學(xué)科重要的發(fā)展。

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丘成桐一百二十問

1978 年，我在普林斯頓高等研究院組織幾何年特別會議 —— 微分幾何論壇，帶領(lǐng)一批數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家研究幾何方面主要的方向。會議最后幾個禮拜，我徇眾要求，作為領(lǐng)導(dǎo)的幾何學(xué)家提出幾何方面最重要的問題。我于是提出了 120 個問題，雖然我的問題無法跟希爾伯特 23 問相提并論，但還是很有意義。為什么我要問這些問題？因?yàn)?120 問對當(dāng)時幾何學(xué)遇到的困難主要在什么地方進(jìn)行思考，同時指出學(xué)科向前走的方向，以及解決后會產(chǎn)生什么重要的結(jié)果和影響。這些問題到了今天，大概三分之一被解決，值得高興的是，大部分都是正面的解決，基本印證了猜想的方向是重要的、是正確的，很多數(shù)學(xué)家為了解決這些問題也得到了很好的結(jié)果。我到現(xiàn)在還是很高興，自己做到了這個事情。

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一些好的問題短期內(nèi)不見得有很大的影響力，因?yàn)樾枰〞r間去消化，去思考。但是，這些問題一經(jīng)提出，往往會影響到數(shù)學(xué)中某些學(xué)科的方向。這 120 個問題促成了一個重要的學(xué)科 “幾何分析”的發(fā)端。很多好的幾何學(xué)家對這些問題都有興趣，推動了這個學(xué)科的發(fā)展，再次印證了問問題是很重要的事情。

但是，問題有好的，也有不好的。什么叫好的問題？好的問題就是，思考這個問題本身，就發(fā)展出一系列的想法、催生出一系列文章。無論最終是否解決，僅僅推敲、研究這個問題的過程都很重要。好的問題一般簡潔、很漂亮，可以解決數(shù)學(xué)上很多疑難。解決了它，所在領(lǐng)域里許多問題都會隨之解決。這就好像在長江里面有一塊巨石，將巨石挪開，水流就會頓時變得更順暢，好的問題會讓人豁然開朗。

我現(xiàn)在來講講當(dāng)年我提出的 120 個問題中的兩個題目，雖然它們到今天還沒有全部解決，但是很多學(xué)者花了不少功夫，也得到很多重要的發(fā)展。

能否聽出鼓的面積？

我要舉例的第一個問題是關(guān)于聲音和幾何的關(guān)系。古希臘時代，人類就認(rèn)識到聲音由一些基本音組合而成。無論彈鋼琴或是打鼓，敲擊產(chǎn)生不同頻率的波動，發(fā)出聲音。波動由多個基本波組合而來，我們上音樂課時都知道基本音級 Do Re Mi Fa Sol。科學(xué)家對基本音級、基本波都很感興趣。每個基本波有固定的頻率，頻率則由鼓的譜計(jì)算得到。波動產(chǎn)生很漂亮的圖形，下面的圖片顯示了不同的波動，有高、有低，還有不動的地方。對于這樣漂亮的幾何，幾何學(xué)家十分重視。

1966 年，杰出概率學(xué)大師 馬克·卡茨（Mark Kac）指出著名的幾何學(xué)家博赫納（Salomon Bochner）提過一個問題：我們可否聽出鼓的形狀？

這一問題的思想可以追溯至 1910 年。當(dāng)時，量子力學(xué)剛剛萌芽，物理學(xué)家洛倫茲（H. A. Lorentz）在哥廷根大學(xué)演講時，提出了一個有趣的數(shù)學(xué)問題：是否可以通過鼓聲的譜和頻率估算鼓的面積？希爾伯特對于這個問題很感興趣，但他認(rèn)為這個問題太難，他有生之年，不可能看到這個問題的解決。當(dāng)年，希爾伯特在德國哥廷根大學(xué)培養(yǎng)了一大群優(yōu)秀的學(xué)生，其中不少成為 20 世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家。外爾（Hermann Weyl）就是其中之一。外爾是一位非常重要的學(xué)者，他開創(chuàng)了今天高能物理中的規(guī)范場理論。過了一年，外爾就把這個問題解決了。下面這個公式后來被稱作外爾公式，?是??以前所有譜的數(shù)目，除以??的冪，?越大時，極限與面積乘以一個常數(shù)一樣。

外爾解決問題的思路和方法很重要。他認(rèn)為，譜越來越高，按照量子力學(xué)的觀念，即譜的觀念，可以推測到局部的幾何變化，從而推出外爾方程。這是個很重要的方程，對今天的數(shù)學(xué)仍然有重要的影響，對于數(shù)論和幾何也十分重要。

外爾的思路和方法還可以向前追溯。歐拉跟黎曼都是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家，我想很少人能夠否認(rèn)這句話。歐拉研究了一個很簡單的問題，當(dāng)??是正整數(shù)時，下列式子的和是多少？

他花了很多功夫研究這個問題，產(chǎn)生了重要的泛函方程。黎曼將其推廣，寫下了著名的黎曼??函數(shù)。

他發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)十分漂亮，可以在整個復(fù)平面上定義，就是說容許??為復(fù)數(shù)。黎曼發(fā)現(xiàn)這類復(fù)函數(shù)具有對稱性，有較明確的零點(diǎn)和極點(diǎn)，以及不明顯的零點(diǎn)，黎曼猜測這些不明顯的零點(diǎn)都在一條直線上，同時這些零點(diǎn)的分布和素?cái)?shù)的分布，有密切的關(guān)系。這是個劃時代的工作，這個函數(shù)影響了數(shù)論的發(fā)展，也影響了外爾的工作。

外爾推廣了黎曼??函數(shù)的思想到一般的空間，用以研究“聽鼓聲估算面積”這一問題，并最終解決。他將黎曼??函數(shù)中的整數(shù)改為譜，從而將面積與頻率聯(lián)系起來。鼓聲的譜越來越高，可以推知局部的幾何，得出一個很重要的結(jié)論：面積跟頻率有很密切的關(guān)系。

能否聽出鼓的面積 —— 這個問題由洛倫茲從物理現(xiàn)象出發(fā)，提出問題，最終由外爾解決。這個問題簡潔、自然、有趣，解決的方法引發(fā)了幾何上不少重要的發(fā)展。

譜可以視為幾何圖形的量子訊息，我們事實(shí)上獲得了量子訊息和幾何的關(guān)系。譜向無窮增大時，得到局部的幾何訊息，包括曲率、面積元等; 譜小時，得到幾何的拓?fù)浠蚴呛暧^訊息。因此，幾何學(xué)家對幾何圖形最小的譜也有濃厚的興趣。

要了解卡茲的問題，需要知道所有譜的幾何意義，因此解決起來更為復(fù)雜，至今沒有全部解答。

波節(jié)線的長度猜想

鼓膜振動時，不動的地方，我們稱之為波節(jié)線（nodal-line）?？死釋?shí)驗(yàn)將粉末放在鼓面上，以機(jī)器聲代替鼓聲，粉跳動著，慢慢向鼓面上不動的地方聚集，在震蕩過程中形成有幾何意義的線和漂亮的圖案。

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這個實(shí)驗(yàn)，讓我們看到波節(jié)線的幾何與譜、頻率有密切的關(guān)系。頻率越低、譜越高，不動的地方越大。波節(jié)線在生活中也看得到，其幾何形狀千變?nèi)f化，十分有意思。比如，游泳池在太陽光照射下，池底形成不同的光線，就是波節(jié)線。波動產(chǎn)生波節(jié)線引發(fā)了我的另一個思考：高頻率下波節(jié)線的長度如何變化 —— 這是我 40 多年前考慮的一個問題。

譜函數(shù)描述鼓膜震動的形狀。每個譜，都有一個譜函數(shù)，其零點(diǎn)就是波節(jié)線。以下圖為例：

第一個譜（0），變動的地方?jīng)]有零點(diǎn)，即沒有波節(jié)線；第二個譜（），波節(jié)線將鼓面一分為二; 不停敲打，出現(xiàn)更多波節(jié)線，鼓面上不動的地方越來越多。頻率越小即譜越大時，我們觀察到更多變化。這些變化看起來很有規(guī)律，僅僅是直線與圓形。其實(shí)，這些波疊加起來之后，波節(jié)線的幾何形狀變化莫測，比直線和圓形要復(fù)雜得多。

有趣的是，從克拉尼實(shí)驗(yàn)中，我們可以看到，盡管波節(jié)線的圖案出現(xiàn)很多變化，但波節(jié)線的長度似乎不太變動。1978 年，我提出一個問題：譜很大時，波節(jié)線的長度如何變化？我發(fā)現(xiàn)，打鼓時不變動的線的長度加起來，可以用譜本身的量來估計(jì)。基本上，波節(jié)線的長度跟譜成正比。我花了很多功夫提出這個猜想。一方面，打鼓時，波節(jié)線變化得很厲害，但長度這個基本量卻變化不大。其二，我計(jì)算了很多例子，發(fā)覺其長度是在??附近變動的。于是得到結(jié)論：它應(yīng)該滿足下述不等式。

譜的波節(jié)線長度

這個不等式到目前為止仍然是關(guān)于波節(jié)線一個重要猜想，引起了很多數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家、物理學(xué)家以及數(shù)學(xué)分析研究人士的關(guān)注。這個猜想，到現(xiàn)在差不多 50 年了，其中一部分被證明是對的，但仍然沒有全部解決。假如同學(xué)們感興趣，應(yīng)當(dāng)試著去解決它。這個問題很有意義，該不等式中有兩個常數(shù) C 和 c，它的幾何意義十分值得我們?nèi)ッ鳌?/p>

作為一個幾何學(xué)家，我對洛倫茲、外爾的問題很感興趣。他們通過譜和頻率的變化來估算面積，我則注意到了鼓不動的地方有什么變化，這個猜想的思想在很多地方都用得到。外爾的研究基于??大的情況下開展。1974 年，我開始研究當(dāng)??小的時候，它和幾何的關(guān)系可否刻畫出來，這其實(shí)是一個很重要的問題。我在研究的時候看了很多不同的書，發(fā)現(xiàn)譜是量子力學(xué)中重要的觀念，當(dāng)譜λ很大的時候，它與局部幾何有很密切的關(guān)系；當(dāng)譜??小時，它則跟宏觀的幾何有密切的關(guān)系。

關(guān)于極小曲面的猜想

我再來講講我的另一個至今還沒有解決的猜想。很多有名的幾何學(xué)家都對曲面的幾何有很大的興趣，他們會選擇重要的曲面，了解它的幾何特性。極小曲面就是一個很重要的曲面。

在三維空間或者說我們生活的空間中，可以看到很多極小曲面。比如，在盛有肥皂水的盆里，將鐵線放在水中再提拉出來，形成薄薄的肥皂膜，就是極小曲面。

在實(shí)驗(yàn)中，我們使用復(fù)雜的工具，可以構(gòu)造更多不同形象的極小曲面。我們可以想象不同的肥皂泡，它們具有漂亮的幾何形象。這些曲面很有意思，我的第一個問題是：如何能找到所有完備沒有邊界的極小曲面？我在 1977 年提出這個問題，經(jīng)過 40 年的努力，我的同學(xué)米克斯（William Hamilton Meeks III）已經(jīng)基本解決了這個問題，解決方法并不簡單，這里暫不詳談。

我的第二個猜想比第一個更困難，到現(xiàn)在還沒全部解決。我們還是想象肥皂泡，但不在三維空間，而是在三維球中。我的猜想是，可不可以找到三維球中所有緊致極小曲面？我的朋友勞森（Herbert Blaine Lawson，Jr.）構(gòu)造出一些例子，很有意思，被稱做勞森曲面（Lawson Surface）。

它是一個二維曲面在三維球中的一個極小曲面；可以想象成一個肥皂泡，在封閉的三維球里出現(xiàn)。封閉極小曲面是一個很有幾何意義的曲面，我們幾何學(xué)家熱衷于了解這類曲面的性質(zhì)。為什么我們對它感興趣呢？假如將這個曲面放在四維空間的單位球里，然后從圓心取直線和這個曲面的每一個點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來得到一個三維錐，這個三維錐就是一個三維的極小流形。這些極小流形看起來似乎沒什么用，但后來成為廣義相對論中描述時空的重要工具。我解決的另一個重要問題 —— 廣義相對論中的正質(zhì)量猜想，主要方法就是研究肥皂泡在時空引力下如何變化。

如果把極小流形當(dāng)作一個鼓面，敲擊后得到一個譜，那么最小的譜等于多少？1974 年，我提出一個猜想，三維球中的極小曲面第一個譜??等于?。這聽起來很神奇，極小曲面有很多，勞森就構(gòu)建了無窮多這樣的曲面。聽到我的猜想，勞森嚇了一跳，我跟很多朋友討論，他們也都嚇了一跳，他們問我為什么會有這樣奇妙的猜測？

我認(rèn)為極小曲面的第一個譜??等于??有兩個重要的理由，可以從幾何的觀念以及從譜函數(shù)的觀念兩方面來看。幾何的觀念可以說是古典力學(xué)的觀念，譜函數(shù)的觀念可以說是從量子力學(xué)的觀念來看，譜跟量子力學(xué)有直接的關(guān)系。幾何觀念認(rèn)為，將極小曲面放在四維空間以后，它的坐標(biāo)函數(shù)定義了一個譜函數(shù)，同時得出來的譜剛好等于?，所以我們得到??是這個極小曲面的一個譜，等于?。唯一的問題是，我們不曉得??是不是第一個譜。從量子力學(xué)的觀念來講，我們發(fā)覺任何曲面的第一個譜函數(shù)都有一個很重要的性質(zhì)，剛才講波節(jié)線，即鼓不動的地方，它會將這個曲面剛巧分成兩部分，上述坐標(biāo)函數(shù)是一個譜函數(shù)，它的零點(diǎn)是一個平面，假如四維空間的所有平面將我們的曲面剛好分成兩部分，那坐標(biāo)函數(shù)很可能就是第一譜函數(shù)，而我的猜想就會成立。勞森構(gòu)造的曲面看起來都有這種平面將曲面切兩部分的性質(zhì)，所以我決定這些極小曲面的最小譜等于?。

我和卡拉比先生講了我的猜想，他認(rèn)為我很有洞察力。這個猜想至今仍未被證明。幾年后，有兩個數(shù)學(xué)家證明了三維球中的極小曲面最小的譜在??和??中間，這個答案已經(jīng)在極小曲面的研究中很有用了。

數(shù)學(xué)中的賦比興

完成上述猜想的過程中，我的基本方法是，比較兩個完全不同的觀念，一個是幾何的觀念，一個是量子力學(xué)的觀念，最終得出曲面最小的譜等于?，當(dāng)然還有待嚴(yán)格的證明。這種手法其實(shí)是數(shù)學(xué)研究中的慣用手法。數(shù)學(xué)是很奇妙的學(xué)問，它是一個講究推理、講規(guī)則的學(xué)問。我們可以通過它們的規(guī)則和思想來做比較，就可以得到有意義的猜想。

詩經(jīng)里講“賦比興”，我認(rèn)為與我們做數(shù)學(xué)也有著很密切的關(guān)系。所謂 “比”，即用不同的景物類比，比如楊柳代表離別或者美人的腰肢。講起離別，不免想起《詩經(jīng)》寫道“昔我往矣，楊柳依依”，周邦彥筆下“長條故惹行客。似牽衣待話，別情無極”，以及柳永的名句“楊柳岸，曉風(fēng)殘?jiān)隆?。而說到美人的腰肢，則憶起張先的“細(xì)看諸處好。人人道，柳腰身”，這都是緣于柳條細(xì)而柔所作的類比。更有溫庭筠的“柳絲長，春雨細(xì)，花外漏聲迢遞”，周邦彥描寫“長亭路，年去歲來，應(yīng)折柔條過千尺”......

這種種不同的比較，也是數(shù)學(xué)上常用的手段。數(shù)學(xué)研究者們應(yīng)該考慮這個思路，不能只做題目，看到數(shù)字就是數(shù)字，看到方程就是方程，它們中間有很多可以比較、可以關(guān)聯(lián)之處。

好問題從何而來？

好問題從什么地方來，怎樣才能解決它？我們首先要了解不同的觀點(diǎn)，就像我提到幾何的觀點(diǎn)與量子力學(xué)的觀點(diǎn)。歷史上，重要的大學(xué)問的完成，往往是不同學(xué)問之間碰撞產(chǎn)生火花促成的。外爾是一個偉大的數(shù)學(xué)家，也是一個偉大的物理學(xué)家，他在量子力學(xué)和幾何學(xué)之間搭建了一座橋梁。因這座橋梁，孕育出一批很好的數(shù)學(xué)家，一個全新的路徑。找到自己的方向，對我們來講是很重要的事情，也是問出好問題的重要途徑。

還有一個途徑，可以產(chǎn)生好的問題。要解決一個大問題時，往往要有很好的工具。工具的發(fā)展是不斷精益求精的過程，每個新工具又促進(jìn)學(xué)問繼續(xù)發(fā)展，新工具讓我們看到不同現(xiàn)象，提升我們看待問題的深度，又促發(fā)我們進(jìn)一步發(fā)展工具。工具越多，越能產(chǎn)生更深刻的、更有效的解決問題的方法。每一次工具的進(jìn)步，都帶動有意義的、重要的、突破性的學(xué)問的發(fā)展。

在伽利略時代，他看到地球是太陽系里的行星，這引發(fā)了牛頓力學(xué)的發(fā)展。此后，人類看得更遠(yuǎn)。到了 20 世紀(jì)初期，我們了解到太陽系外還有銀河系，以及不同的星云。每一次跳躍都是伴隨著“望遠(yuǎn)鏡”這個工具不斷發(fā)展的。數(shù)學(xué)上也同樣如此，我們在解決問題時，最初的工具遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要不斷發(fā)展新的工具。

費(fèi)馬猜想的解決也是如此。費(fèi)馬猜想距今已經(jīng)有 300 多年的歷史。直到 30 年前，英國大數(shù)學(xué)家懷爾斯（Andrew Wiles）才解決了這個問題。在懷爾斯之前，幾百年來，大數(shù)學(xué)家們都有興趣解決這個問題。費(fèi)馬和歐拉就解決了??時的情形，使用了橢圓曲線的方法，得出很重要的結(jié)果，但是僅限于??的情形。19 世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺‥rnst Kummer），以為自己可以解決費(fèi)馬問題，結(jié)果沒有成功，但引入了代數(shù)中的重要概念，即理想(ideal)，帶動解決了一大批問題，但還是沒有根本解決費(fèi)馬猜想。到了 20 世紀(jì)，出現(xiàn)了更多不同的方法，其中一個重要的方法，是由日本數(shù)學(xué)家谷山豐（Yutaka Taniyama）跟志村五郎（Goro Shimura），以及法國大數(shù)學(xué)家韋伊（André ?Weil）提出的谷山-韋伊-志村猜想(Taniyama-Weil-Shimura conjecture)，成為解決費(fèi)馬猜想的重要工具，最終由懷爾斯解決了這個 300 余年的題目。

欣賞數(shù)學(xué)之美的同時，我們要欣賞數(shù)學(xué)美與真背后的規(guī)律。了解了它的美和規(guī)律，通過不斷地比較，提出重要的、具有開創(chuàng)性的問題。而一個學(xué)科重要的問題，只有在不斷學(xué)習(xí)中，才能慢慢體會。

何為偉大的工作？

偉大的數(shù)學(xué)家都有一套自已對學(xué)問的看法（Philosophy），這些系統(tǒng)的、深邃的、嶄新的觀點(diǎn)給古老的數(shù)學(xué)注入新的活力，因而產(chǎn)生一系列有意義的問題。正如西方戲劇《浮士德》、中國古典名著《紅樓夢》一樣，都是由不同部分組成，每個部分又自成一格，有其獨(dú)特之處，但無論牡丹、綠葉，終須大師寫下綱領(lǐng)，方可將零散的部分組合一番，成為一幅瑰麗的圖畫。

所以，我們要創(chuàng)立一個這樣的綱領(lǐng)。在這綱領(lǐng)的指引下，將各個不同的學(xué)科分支放在一起，才能構(gòu)建出一座宏偉的大廈！一般來說，要完成這種宏觀的看法，并非一人一時之工，一人一時之問，有時長達(dá)一個世紀(jì)，才看得出這些綱領(lǐng)的威力。1854 年，黎曼在偉大的就職演講《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》中，給出了幾何學(xué)的一個綱領(lǐng)。他通過物理學(xué)中的等價原理建造了新的內(nèi)蘊(yùn)幾何，完成了廣義相對論重要的部分。二十世紀(jì)初期，外爾開發(fā)李群的表示理論和規(guī)范場理論，成為現(xiàn)代理論物理的基礎(chǔ)。韋伊則在上世紀(jì)定下用代數(shù)幾何作為工具硏究數(shù)學(xué)的方向，完成了數(shù)學(xué)歷史上一個偉大猜想 —— Weil 猜想。我的朋友朗蘭茲（Robert Langlands）五十多年前提出著名的 Langlands 綱領(lǐng)，用群表示理論硏究數(shù)學(xué)，產(chǎn)生了一大批重要的方向和問題。這些工作可謂大氣磅礴。

凡是偉大的工作，都是飽讀文獻(xiàn)，“望盡天涯路”得來的結(jié)果。我在上世紀(jì)七十年代開創(chuàng)現(xiàn)代幾何分析時，主要的信念是用函數(shù)和定義的微分方程來描述空間，又通過幾何來了解函數(shù)和微分方程。我提出的 120 個問題就是這樣產(chǎn)生的。

何為一流的問題？

好的問題一定要有深度、有趣味、并且簡潔。數(shù)學(xué)與文學(xué)有相通的地方。文學(xué)上，我們通過簡潔的語言描述我們看到的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)也喜歡簡潔。一般來講，假如命題不夠簡潔，則難以深入，但深入的問題也不一定很簡潔?？偟膩碚f，一個好的數(shù)學(xué)問題，要有深度、簡潔、漂亮、有趣。

什么叫深度？深度就是解決一個問題后，可以引領(lǐng)新的方向，看到更深遠(yuǎn)的圖景。比如，我們爬到一座高山上，看到更廣闊的前景和嶄新的疆域。什么是簡潔、漂亮？在數(shù)學(xué)上，大自然的美景可以通過很簡單的方程解釋清楚。當(dāng)年牛頓的方程、愛因斯坦方程、狄拉克方程，都是極簡潔的，總結(jié)了大自然之中很多很漂亮的現(xiàn)象，包含了大自然的奧秘，這當(dāng)然是很漂亮的事情。文學(xué)用很簡單的語言描述大自然的景色，與我們產(chǎn)生心理的共鳴。好的數(shù)學(xué)，也能在我們心里產(chǎn)生共鳴。當(dāng)年，我聽到卡拉比的講話后，心里產(chǎn)生很大的震撼。我覺得如果能夠了解這個猜想，我將解決數(shù)學(xué)里一大片問題。

有深度的學(xué)問不一定簡潔，往往還需要改進(jìn)。第一流的問題一定要有深度，同時本身很漂亮，很有意義，讓人很有興趣。龐加萊猜想、費(fèi)馬問題、卡拉比猜想，都是有深度、有興趣、很簡潔的問題，這是大問題，一流的問題。

有人問我第二流、第三流的問題是什么樣，我不好舉例?？偟膩碚f，研究數(shù)學(xué)在于研究數(shù)學(xué)的深度、意義和內(nèi)容。幾十年來，我們看到有些重要的問題被解決了，最出名的是四色問題（Four color problem），即一張地圖只需四種顏色標(biāo)記就足夠。這是很出名的大問題，大概 40 年前就被解決了。解決方法的最后幾步，是計(jì)算機(jī)來完成的。當(dāng)然，其解決方法基本正確，但我們對這個問題本身的意義，其組合意義、幾何意義，到現(xiàn)在還沒有得到深入的了解。因此，我認(rèn)為這個問題其實(shí)沒有全部解決，希望以后能夠更深入地了解它，問題才算得到真正的解決。現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)問題，尤其是應(yīng)用數(shù)學(xué)的問題，都是通過計(jì)算機(jī)算出來的，有時候可能是對的，有時候可能是不對的。這其中最大的問題是，我們對問題的結(jié)構(gòu)，對整個學(xué)問的結(jié)構(gòu)并不了解，這些不能算是第一流的答案，也不可能在工業(yè)界做出引領(lǐng)風(fēng)騷的一流技術(shù)。了解一個數(shù)學(xué)問題時，我們應(yīng)該深入、清楚地了解它的結(jié)構(gòu)和前景。

有一些問題，趣味性比深度更大。我也做過類似的問題，比如我 48 年前完成的一篇小文章，當(dāng)時也有很大的影響。我證明一個空間，曲率是大于??時，只要不是緊致的，其體積無窮大。這是一個很有趣的命題，證明起來也不太難。雖然不算是個很有深度的問題，但是“雖小道，必有可觀者焉”，小道往往可以成為大道的起點(diǎn)。我們說問題只要有趣味，都可以算是一個好的問題。

如何培養(yǎng)中國的大師？

最后，我們談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)大師。我們希望學(xué)生有視野、要用功、要發(fā)問，這都是很重要的訓(xùn)練。有視野很重要，跑到高山上以更廣闊的視野看世界。但如果沒有爬山的工具，就只能遠(yuǎn)遠(yuǎn)地望，因此掌握工具也很重要。70 年代，我做了不少問題，為了解決問題，我學(xué)了很多數(shù)學(xué)，工具就是從學(xué)習(xí)中得到的，并不是隨便得出來的。我看了很多量子力學(xué)的書、幾何的書，從中得出了很多結(jié)論。因此，工具必不可少，否則都是空談。我希望大家做學(xué)問的時候，一定要一步一步扎實(shí)地走，才能做出重要的問題。但無論如何，問問題是一個最重要的步驟，問問題之后還要能夠解決它，就算不能解決，也要探索出新的工具、新的方向。

講座現(xiàn)場

今天，中國基礎(chǔ)科學(xué)想要發(fā)展，最主要的是問問題。中國的數(shù)學(xué)家都很不錯，但尚且沒有出現(xiàn)一批真的有能力問出重要的問題的數(shù)學(xué)家們。我們要訓(xùn)練現(xiàn)在的年輕人，培養(yǎng)他們找出重要問題的能力。通過問問題能夠產(chǎn)生一些重要的工具，利用這些工具將問題解決之后，你的心里會很高興。問一個有意思的問題，同時解決它，假如解決的方法是前人沒有走過的路，這個過程會更令人滿足，比成為世界上最富有的人還要高興。這是我做學(xué)問的感想，我覺得從中有很大的收獲。

我今年 73 歲了，但是我這一輩子走過的路我覺得很高興。很多媒體問我，當(dāng)年完成卡拉比猜想時感受如何？我引用了晏幾道的兩句詞，“落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛”，形容我當(dāng)年的心情。當(dāng)年我打算解決卡拉比猜想的時候，事實(shí)上沒有人同意這個猜想是對的。到了落花結(jié)果的時候，就是我終于解決它的時候，我自己一個人獨(dú)立地完成它、欣賞它，覺得很滿意。所謂“微雨燕雙飛”是說，在微雨之中欣賞我完成工作，覺得自己與大自然融合在一起。我做的圖形，我抱有的想法與大自然相融。

我想，做好學(xué)問的學(xué)者都有這個想法，好的數(shù)學(xué)完成了以后讓人覺得滿足。這不是驕傲，就像畫家完成一幅漂亮的圖畫之后的心境。我鼓勵年輕的學(xué)者，好好地想，學(xué)好的學(xué)問，問好的問題，為探索大自然的奧秘努力，為尋找大自然中的規(guī)律而探討學(xué)問，很快就會產(chǎn)生一大批第一流的學(xué)者。

今天就講到這里，謝謝！■

（牛蕓、桂延智、王一婷?整理）