時(shí)空坐標(biāo)的龐加萊變換為：

它是洛倫茲變換與時(shí)空平移的組合。如果量子系統(tǒng)既有洛倫茲對(duì)稱性又有時(shí)空平移對(duì)稱性，那么龐加萊變換（這里的洛倫茲變換是固有保時(shí)向的）能誘導(dǎo)出態(tài)矢的線性幺正變換：

是一個(gè)線性幺正算符，描述量子龐加萊變換，它滿足：

算符的幺正性保證態(tài)矢的內(nèi)積在量子龐加萊變換下不變：

是恒等變換算符。對(duì)應(yīng)于洛倫茲變換，因此：

這是量子洛倫茲變換。描述量子時(shí)空平移變換。

對(duì)時(shí)空坐標(biāo)先做龐加萊變換再做龐加萊變換得到：

這相當(dāng)于做龐加萊變換因而存在同態(tài)關(guān)系：

因此，集合和分別構(gòu)成龐加萊群和洛倫茲群的無(wú)窮維幺正線性表示。從而，由：

得到逆變換算符：

無(wú)窮小洛倫茲變換的矩陣形式是無(wú)窮小時(shí)空平移變換為其中是無(wú)窮小量。從而，無(wú)窮小龐加萊變換的無(wú)窮小算符為：

其中：

分別是量子洛倫茲變換和量子時(shí)空平移變換的生成元算符。是反對(duì)稱的，即：

于是有6個(gè)獨(dú)立分量，有4個(gè)獨(dú)立分量。由的幺正性可知生成元算符也是幺正的：

根據(jù)逆變換（8.9）和同態(tài)關(guān)系（8.7），有：

利用有：

代入（8.15）式，得到：

與（8.14）式比較，得到：

取龐加萊變換變?yōu)槁鍌惼澴儞Q：

可以得到生成元在態(tài)矢中的期待值：

可將和看做由洛倫茲變換誘導(dǎo)的和的洛倫茲變換：

這說(shuō)明是個(gè)二階張量算符，是個(gè)四維矢量算符。