Unruh效應與Hawking輻射
在討論主題之前我們需要彎曲時空中的量子場論。我們只考慮自由粒子，因為在彎曲時空中我們感興趣的首先是場和度規(guī)之間的作用而不是不同場之間的作用。我們的討論都是半經(jīng)典的“雜交”理論，即，將物質(zhì)場看作量子的，而將引力場看作經(jīng)典的。
首先回顧一下基本的量子力學。
一個物理理論包含有以下三個問題：
物理系統(tǒng)狀態(tài)的刻畫；
觀測量理論；
系統(tǒng)的動力學演化。
對于經(jīng)典力學（Hamilton力學），三個問題的回答分別是：
相空間，(q_i,p_i)；
相空間上的函數(shù)；
Hamilton方程。
對于相對論，三個問題的回答分別是：
贗Riemann流形上的張量場；
張量在局部觀測者坐標下的投影；
Einstein場方程+物質(zhì)場的運動方程。
（關于最后一點的評注：Einstein場方程是作用量對度規(guī)場變分所得，物質(zhì)場的運動方程（比如測地方程/Maxwell方程）是作用量對物質(zhì)場變分所得，它有時也可以直接從能動量守恒方程（作用量的微分同胚不變性）導出。有些地方說物質(zhì)場的運動方程可以直接從Einstein場方程導出，但是Feynmann的lecture里說這個說法misleading。不管怎樣，即使可以直接從Einstein場方程導出，也未必方便，所以理解成作用量對物質(zhì)場變分所得的獨立規(guī)律未嘗不可）
對于量子力學，這三個問題的回答分別是：
1.Hilbert空間里的態(tài)矢。更準確地說應該是其中的一條射線：
2.觀測量是厄米算符。其譜就是所有可能的觀測結果，特征向量構成一個正交歸一的基，態(tài)矢在上面的投影的模方就是概率。
3.在Schr?dinger圖景下是Schr?dinger方程，在Heisenberg圖景下是Heisenberg方程。
Hamilton量算子作為控制系統(tǒng)時間演化的量，其特征值問題是最要緊的?？梢燥@然看出，Hamilton算子的本征態(tài)就是定態(tài)，只要把初始態(tài)勢投影在上面，之后的時間演化都是直接給出的。所以我們求解一個量子力學系統(tǒng)（比如氫原子能級），說的就是求解其Hamiltonian的譜。
作為正則量子化的例子，復習一下一維量子諧振子的求解，即Hamiltonian的特征值和特征向量。對于這樣一個Hamiltonian：
簡單粗暴地上冪級數(shù)方法也是可以的，結果是
還可以把各個本征態(tài)畫出來：
但是我們現(xiàn)在要說的是另一個比較取巧的解法：階梯算符方法?？偟南敕ň褪前袶amiltonian用產(chǎn)生和湮滅算符表示出來，然后利用產(chǎn)生湮滅算符的對易關系去湊出不同本征態(tài)之間的升降關系。算符如下：
我們發(fā)現(xiàn)它們作用在某個Hamiltonian的本征態(tài)|n>上會給出能量高或者低一點的另一個本征態(tài)。那么我們就能喜聞樂見地用它們產(chǎn)生所有本征態(tài)。不過我們還不知道|0>是個啥，但是利用a|0>=0是很容易解出|0>的。這樣一維量子諧振子就得以完全求解。
把基本的量子力學推廣到一個標量場。當然矢量場，旋量場一樣可以。量子場論里場是基本的，場的基態(tài)就是真空，激發(fā)態(tài)就是粒子。量子化的粒子有隨機的位置和動量，那么量子化的場自然也有隨機的\phi和\pi。
把粒子變成場，那么正則坐標x和正則動量p就變成場本身\phi和由它定義出的動量\pi。此時Hilbert空間內(nèi)的矢量\Psi變成場的泛函，|\Psi[\phi]|^2就是隨機場分布的概率測度。
這時候位置算符和動量算符會如何？直接按照粒子的做法，我們可以寫出：
其中的delta是泛函導數(shù)（容易驗證它們滿足正則對易關系）。這樣Hamiltonian作為一個泛函到泛函的算子其定義也是明確的。薛定諤方程也同樣是：
原理上跟前面沒有任何區(qū)別。接下來我們一樣是要求解Hamiltonian的特征值問題。但是對于泛函總是不太好下手。畢竟連函數(shù)的薛定諤方程解起來已經(jīng)夠麻煩了。
這里標準的做法是下面利用產(chǎn)生和湮滅算符的二次量子化手段，就像前面的諧振子一樣（雖然這里其實只是個一次量子化，因為我們把Klein-Gordon場作為一個經(jīng)典場而不是一次量子化之后的波函數(shù)，或者說薛定諤方程的SR推廣）。要知道一個隨機場的測度，或者這個Hilbert空間里的泛函，是很難具體表示出來的。所以利用產(chǎn)生和湮滅算符的技巧，其好處就在于，其實我們只是形式地從真空態(tài)|0>出發(fā)激發(fā)得到所有激發(fā)態(tài)，但是|0>是個啥并不關心。
對于一個經(jīng)典的Klein-Gordon場，其有一系列平面波解，每個平面波解對應一個一維諧振子。此時諧振子的能量可以是任意值，所以每個產(chǎn)生湮滅算符indexed by k。我們把場\phi展開為平面波（即Fourier變換），然后把變換中的系數(shù)改成產(chǎn)生和湮滅算符（類比一維諧振子，一個振動模態(tài)對應一個產(chǎn)生湮滅算符），就實現(xiàn)了場的量子化。Hamiltonian為（去掉了一個無窮大的真空能，無所謂）
于是跟一維諧振子完全一樣，在真空態(tài)|0>上面作用某些a_k就變成激發(fā)態(tài)。這個譜是連續(xù)的，激發(fā)態(tài)的粒子可以有任意的能量。至于|0>則是一個Gaussian測度：
這是一個Gaussian random field，按照高維高斯分布去看它就很熟悉了。可以算出它的有限維邊緣分布，就是場在不同點之間的correlation。另外我們可以看到真空|0>并不是空無一物，而是一個能量最低的H的本征態(tài)，也就是對應一個隨機場（分布為|<\phi|\Psi>|^2）。這個隨機場在每個點都有一個Gaussian的漲落。這個場并不是一般想象中的恒為0的場，而是有vacuum fluctuation的。真空場的每個configuration都是有可能的，比不過有些概率比較大，有些概率比較小。就像量子諧振子一樣，基態(tài)并不是固定在x=0處。
理論上來說，Hamiltonian的譜和特征泛函已經(jīng)完全知道了。特征值可以是任意一個正數(shù)，特征向量則是在上面這個泛函上作用對應的產(chǎn)生算符。比如對于以下激發(fā)態(tài)：n_1個動量為k_1的粒子，...，n_j個動量為k_j的粒子，其本征態(tài)就是
接下來我們試圖把上面的理論推向彎曲時空。假設有這樣一個標量場：
這里面引入了一個非最小耦合項\xi，它會給出與逗號變分號法則不同的動力學。
對于經(jīng)典場論，總的作用量就是Einstein-Hilbert作用量加上它。對度規(guī)張量變分得到Einstein場方程，對\phi變分得到物質(zhì)場運動方程（Klein-Gordon的樣子加上一個曲率項），然后就可以定義一個初值問題，求解度規(guī)場和物質(zhì)場的時間演化。
注意現(xiàn)在量子化（半經(jīng)典）要做GR的Hamiltonian formulation（畢竟是要求解Hamiltonian的譜），它肯定是3+1的，需要做時間切片（參考ADM）。對偶動量（場）為（如上所述，取決于3+1，所以并不是一個標量場）
場的運動方程為
我們假設固定的時空背景，不考慮這個標量場的能動張量對度規(guī)張量的影響。
我們同樣可以找到這個方程的一組正交解（“平面波”）然后把\phi用這組解展開，把展開后的系數(shù)換成產(chǎn)生湮滅算符實現(xiàn)量子化。問題在于，這時候的t坐標是隨意的，對于某一個坐標參數(shù)化方式，我們可以找到方程的一組「類比于平直時空」的“3+1平面波解”，然后得到產(chǎn)生湮滅算符和真空態(tài)。但是如果換一種參數(shù)化（3+1分解），真空態(tài)和算符也會不同（相比之下，SR中有“一組”特殊的3+1坐標系，而且雖然也是一組，但是彼此之間僅僅差了個洛倫茲變換，可以證明上一小節(jié)的本征值問題在洛倫茲變換下是不變的）。對于某一個f-真空態(tài)|0_f>，從g去觀測<0_f|H_g|0_f>可能有正數(shù)目的粒子數(shù)/能量。這件事會在下面的Unruh效應中體現(xiàn)。
考慮一個最簡單的情況：1+1平直時空上的最小耦合無質(zhì)量標量場。它可以按照前面的方式，在慣性坐標系下量子化，把這個真空態(tài)叫做|0_M>，產(chǎn)生湮滅算符記為a_k（此時k只是個一維量了）。接下來考慮把它在加速度為a的Rindler坐標系（具體表達式見之前的文章）下量子化，同樣是求出經(jīng)典的平面波解（這時候表達式很簡單），然后把系數(shù)換成產(chǎn)生湮滅算符，記為b_k，真空態(tài)記為|0_R>。那么在Rindler觀測者的觀測下，|0_M>就是不再是|0_R>，而是Rindler坐標系下若干激發(fā)態(tài)的疊加。我們可以計算一下Rindler觀測者觀測到的“真空”在動量為k的激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)的平均值，也就是粒子數(shù)算符的期望值：
具體的計算結果為：
退回到經(jīng)典，平均值在大數(shù)定律下就是我們觀測到的值，這表示不同能量的粒子的分布遵從Bose–Einstein統(tǒng)計，其對應的溫度為
稱為Unruh溫度。也就是說，Rindler觀測者觀測到的Minkovski基態(tài)不是基態(tài)，而是被激發(fā)到一系列激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)，這一列疊加態(tài)對于能量的分布遵從Unruh溫度下的Bose–Einstein統(tǒng)計，似乎處在一個額外的熱庫當中。
如果代入數(shù)值計算一下，Unruh溫度為4.06a×1e?21?K（a為m/s^2單位）。這是一個極其低的溫度。微波背景輻射都有2.7K，對于普通的加速運動，這個Unruh效應肯定要淹沒在微波背景輻射里面。
有一個問題是，0的背景能動張量下運動觀測者是怎么觀測到粒子的。這個問題其實很好解答，勻加速觀測者自己是要消耗能量的，用于激發(fā)量子態(tài)的能量來自這部分能量而不是背景能動張量。
對于彎曲時空，前面（關于「運動觀測者觀測到的真空態(tài)」）計算雖然原則上能進行，但僅僅Klein-Gordon方程的解就不容易找了，接下來量子化和算粒子數(shù)算符的期望值就更麻煩。所以下面僅僅通過Unruh效應啟發(fā)性地理解Hawking輻射。嚴格的計算思路和前面是一樣的。
假設Schwarzchild黑洞的時空中有一個標量量子場。這個量子場在事件視界附近(r)的自由墜落觀測者看來是一個真空。當然我們知道，對于加速觀測者，就會有Unruh效應，看這個場處于激發(fā)態(tài)。這個固定觀測者在平均意義下看到一個輻射譜，其中能量為\omega的輻射率為
其中的Unruh溫度可以通過固定觀測者的4-加速度計算出來：
這個輻射譜在輻射到無窮遠處之后會有一個引力紅移，光子的頻率下降，等效到分布中，就是T降低：
把這個r取到事件視界上，就得到無窮遠處觀測者觀測到的黑洞輻射溫度：
更加確切的說法是黑洞有一個輻射譜，Hawking溫度是這個分布的參數(shù)。就像普朗克的黑體輻射定律一樣，不同溫度對應著不同的輻射譜曲線，溫度越高輻射越強：
更加一般的結論是，對于任意種類的黑洞（允許角動量和電荷），任意種類粒子的輻射（允許費米子和玻色子），Hawking輻射的譜為：
其中\(zhòng)Gamma為greybody factor（只取決于黑洞本身的參數(shù)）。這就像一個普通的黑體輻射。注意這個黑體輻射沒有包含關于事件視界內(nèi)部任何的信息，所以導致了黑洞信息佯謬。
我們來具體看一下這個溫度的大小。
溫度與黑洞質(zhì)量成反比。比如一個太陽質(zhì)量的黑洞，輻射還沒有吸收的微波背景（2.7?K）多；這種低溫對應的是一個很寬的輻射譜，從低能到高能的輻射都很少，基本相當于沒有，所以仍然可以看成字面意義上的黑洞。微型黑洞則溫度很高，蒸發(fā)地很快。黑洞輻射過程中損失質(zhì)量，溫度越來越高，這跟一般的物體不同，可以看成具有負比熱。能夠蒸發(fā)的黑洞霍金溫度必須超過2.7K，它的質(zhì)量要比月球小。這樣的黑洞，其直徑會小于0.1毫米。
假如我們想要這個黑體輻射聚集在可見光段（黃色的黑洞），就得要求其溫度在太陽左右（6000K），由此計算出黑洞質(zhì)量為1e19kg，大概是千分之一的月球質(zhì)量。其壽命為1e34年，所以這種小原初黑洞是能存活至今的。不過其半徑只有10nm。理論上對黑洞質(zhì)量并沒有約束，只是不同形成方式的約束。比如大質(zhì)量恒星的引力坍縮形成的黑洞（>3倍太陽質(zhì)量），星系中心的大質(zhì)量黑洞（10^9太陽質(zhì)量），來自宇宙早期大爆炸暴漲時物質(zhì)的超高密度的原初黑洞（小到普朗克質(zhì)量，大到幾千個太陽質(zhì)量）等。
另一個角度的informal的理解是，事件視界附近的真空中有虛粒子/虛反粒子對popping in and out，在二者湮滅之前，其中一個粒子落入事件視界，另一個跑向無窮遠處。前者具有負能量（虛粒子是off mass shell的，負能量也不奇怪），而且虛粒子未必要在光錐內(nèi)部運動，所以有限時間內(nèi)進入事件視界也不奇怪。這個粒子相當于把黑洞的能量減少了，而跑出去的那個則帶走了原來預支的能量，總的能量還是守恒的。跑出去的粒子"boosted" by the black hole's gravitation into becoming real particles，就成為Hawking輻射。
Hawking輻射的一個推論是，黑洞會蒸發(fā)，損失質(zhì)量，因此可能有一個有限的壽命（如果沒有通過其它方式獲取質(zhì)量的話）。因為越小的黑洞溫度越高，輻射損失越快，同時本身自己就沒有多少質(zhì)量，因此在正反饋作用下會很快損失質(zhì)量蒸發(fā)殆盡，輻射的能量也越來越高，以一場gamma射線爆發(fā)作為結局。下面計算出具體的蒸發(fā)時間，可以利用Stefan-Boltzman定律估算：
一積分就得到黑洞壽命：
這個三次方就體現(xiàn)了前文說的正反饋。太陽質(zhì)量的黑洞壽命已經(jīng)遠超宇宙目前的年齡了，畢竟溫度很低。質(zhì)量比較小的原初黑洞則可能活不到現(xiàn)在。至于非常小的可能存在的黑洞，比如1kg大小，蒸發(fā)時間就是1e-16s。曾經(jīng)有關于LHC會產(chǎn)生微型黑洞導致世界末日的說法，但是這種黑洞即使存在，蒸發(fā)也實在太快（吸積其它物質(zhì)增加質(zhì)量也來不及），實在難以產(chǎn)生威脅。況且造出微型黑洞的能量至少要1e19?GeV，遠超目前的技術水平。另一個角度說，宇宙里隨時都有遠超LHC能量上線的射線，比如1991年探測到的The Oh-My-God Particle是LHC上限的1000萬倍。然而我們并沒有看到哪個行星因此產(chǎn)生微型黑洞然后被毀滅了。
