2023全國甲卷立體幾何大題有非常明顯的垂直關(guān)系。用幾何法求解，要求作輔助線和運(yùn)用立體幾何公理，對(duì)創(chuàng)造性要求較高，對(duì)于普通學(xué)生來說不易掌握。因此在此嘗試使用向量法不做任何輔助線解決此題，從已知條件出發(fā)，運(yùn)用空間向量的直線推進(jìn)的思維一步一步求解未知量。

題目如下：

解答過程：

以C為原點(diǎn)，CA、CB、CA1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AC=x0，BC=y0，則A1C=√(4-x0^2)
A(x0,0,0)，B(0,y0,0)，C(0,0,0)，A1(0,0,√(4-x0^2))
三棱柱?CC1=BB1=AA1=(-x0,0,√(4-x0^2))
?C1=(0,0,0)+(-x0,0,√(4-x0^2))=(-x0,0,√(4-x0^2))，B1=(0,y0,0)+(-x0,0,√(4-x0^2))=(-x0,y0,√(4-x0^2))
S△C1CB=1/2|CC1×CB|=1/2|(-x0,0,√(4-x0^2))×(0,y0,0)|=1/2|(-y0√(4-x0^2),0,-x0y0)|=y0
VA1-C1CB=1/6(CB×CC1)·CA1
? |0 ? ?y0 ?0 ? ? ? ? ? ?|
=|-x0 0 ? √(4-x0^2)|
? |0 ? ?0 ? √(4-x0^2)|
=1/6x0y0√(4-x0^2)
又有V=1/3SH
?H=3VA1-C1CB/S△C1CB=3*1/6x0y0√(4-x0^2)/y0=1
?x0=√2
(1)AC=x0=√2,A1C=√(4-x0^2)=√2?AC=A1C
(2)A(√2,0,0)，B(0,y0,0)，A1(0,0,√2)，B1(-√2,y0,√2)，C1(-√2,0,√2)
AA1與BB1的距離：
|AB|·sin<AB,AA1>=|AB||AB×AA1|/(|AB||AA1|)=|AB×AA1|/|AA1|
=|(-√2,y0,0)×(-√2,0,√2)|/√((-√2)^2+0^2+(√2)^2)
=|(√2y0,2,√2y0)|/2
=2
?y0=√3
?B(0,√3,0)，B1(-√2,√3,√2)
面BCC1B1的一條法向量：CC1×CB=(-y0√(4-x0^2),0,-x0y0)=-√6(1,0,1)，取n=(1,0,1)
AB1與面BCC1B1所成角的正弦值即為AB1與n所成角的余弦值：
cos<AB1,n>=AB1·n/(|AB1||n|)
=((-2√2,√3,√2)·(1,0,1))/(√((-2√2)^2+(√3)^2+(√2)^2)*√(1^2+0^2+1^2))
=-√13/13
由于二面角取銳角，故余弦值為√13/13

補(bǔ)充：?

關(guān)于向量的叉乘見此：https://www.bilibili.com/read/cv24313606

三向量組成的平行六面體的體積等于三向量的混合積，用的也是叉乘中出現(xiàn)的行列式。三向量組成的三棱錐體積是平行六面體體積的1/6。