因?yàn)檫@本書對經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)的寶寶而言，難點(diǎn)應(yīng)該在數(shù)學(xué)，所以，老碧決定之后采取，在文章中補(bǔ)充數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的形式，老碧也順帶復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)了。

細(xì)心地同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，老碧的進(jìn)度卡了很久，原因在于作者對消費(fèi)集性質(zhì)的闡釋方面，老碧想了很久，總感覺怪怪的。而“消費(fèi)集”這個(gè)模型又很重要，理解清楚了這個(gè)，第一講后面的內(nèi)容都會(huì)很簡單直觀。

今天終于被繞暈了，去問了老碧藤校的好基友，終于確定了，這本教材，在這個(gè)定義的闡釋方面，邏輯是存在一點(diǎn)點(diǎn)問題的——畢竟是介紹數(shù)學(xué)模型的書，原理方面還是應(yīng)該嚴(yán)謹(jǐn)才對——老碧對邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤綍?huì)很敏感，所以有的時(shí)候作者一個(gè)筆誤就會(huì)讓老碧糾結(jié)幾個(gè)月了，感覺想不通為什么會(huì)那樣。雖然，對經(jīng)濟(jì)學(xué)而言，只要照套路模仿就好了，但是老碧還是偏愛在學(xué)習(xí)過程中理解清楚整個(gè)思路邏輯，為了節(jié)約和老碧類似的寶寶們的時(shí)間，我們這里就來聊聊這個(gè)闡釋中很小的一個(gè)bug：

首先我們前兩節(jié)詳細(xì)聊過，消費(fèi)集的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)n維實(shí)向量構(gòu)成的集合，且集合中向量的每一個(gè)分量都是大于等于0的。

消費(fèi)集滿足性質(zhì)“非空含0閉且凸”

1. “非空”——很好理解，自然狀態(tài)下的人，總是要買東西的。

2. “含零”——?jiǎng)t是因?yàn)?，在種種特殊情況下，人可以啥都不買，比如缺錢。

3. “閉集”——

   a.書上的解釋是：消費(fèi)集中所有的極限點(diǎn)都包含在該集之內(nèi)，因此X是連續(xù)的；

   ——這個(gè)闡釋從數(shù)學(xué)上來說，是不太正確的。

   b.為了說清楚這個(gè)問題，我們先補(bǔ)充幾個(gè)概念——

   1.空間中一個(gè)子集還是個(gè)空間，零維空間是一個(gè)點(diǎn)，孤家寡人；一維空間是直線，反向延伸；二維空間是平面，四周延伸；……（這個(gè)子集最多是和它所在的空間相等，為了方便，我們記這個(gè)空間為大空間，這個(gè)子集為小空間）
   

   2.以大空間里的一點(diǎn)（空間由點(diǎn)構(gòu)成，如果約定了原點(diǎn)，點(diǎn)也可以表示成向量的形式）為中心，做一個(gè)小球（這個(gè)小球可以使任何維度的，三維以上的雖然無法直觀想象，但是原理可以類比三維以內(nèi)的球的定義），無論這個(gè)小球半徑有多小，球里面都有這個(gè)點(diǎn)以外的點(diǎn)屬于這個(gè)小空間——那么就說這一點(diǎn)是這個(gè)小空間的“凝聚點(diǎn)”或者“極限點(diǎn)”，我們發(fā)現(xiàn)，凝聚點(diǎn)不一定屬于小空間——我們以一維空間來看，我們截取一個(gè)不包含端點(diǎn)的線段（1,3），表示1到3內(nèi)的所有點(diǎn)，但是1和3周邊截一小段（一維空間的“小球”），無論多小，都包含(1,3)內(nèi)的點(diǎn)，所以1和3都是不屬于這個(gè)線段(小空間)的凝聚點(diǎn)；

   3.在這個(gè)小空間里面，不是“凝聚點(diǎn)”的點(diǎn)稱作“孤立點(diǎn)”，我們按照“排中律”，試著寫出孤立點(diǎn)的定義——因?yàn)槎x“凝聚點(diǎn)”的條件是很嚴(yán)格的，它為中心的任何一個(gè)小球都得包含小空間的其他點(diǎn)，我們知道，任何一個(gè)表示普遍適用，不存在反例，那么在定義“不是凝聚點(diǎn)”的時(shí)候，我們只要強(qiáng)調(diào)，存在一個(gè)反例即可——以小空間內(nèi)的一點(diǎn)為中心，做出來的小球中，有一個(gè)小球里面是不含小空間里面的其他點(diǎn)的（孤零零的好可憐），這點(diǎn)就叫做這個(gè)小空間的孤立點(diǎn)；

   4.我們聊了“小空間”相關(guān)的小球中，“至少包含一個(gè)‘小空間’內(nèi)的其他點(diǎn)”，“‘小空間’內(nèi)的其他點(diǎn)一個(gè)也不包括”的類型，下面聊第三種，“小球里面所有點(diǎn)都是‘小空間’內(nèi)的點(diǎn)”——如果存在一個(gè)點(diǎn)，以它為中心做小球，這些小球里面有一個(gè)滿足剛剛提到的性質(zhì)“小球里面所有點(diǎn)都是‘小空間’內(nèi)的點(diǎn)”——這種點(diǎn)成為“小空間”的“內(nèi)點(diǎn)”。

   c.有了這三種點(diǎn)的定義，就可以給出其他定義了——

   1.開集：只有內(nèi)點(diǎn)的集合。

   2.閉集：大空間去掉開集的那部分。

   我們以一維空間為例，可以知道，所有截下來的小線段除了端點(diǎn)，剩下的點(diǎn)都是“內(nèi)點(diǎn)”，我們?nèi)∪尾缓它c(diǎn)的線段（-1,3），（3,5），（8,9），它們都是開集，容易驗(yàn)證，這三個(gè)“小線段”合在一起也是開集。

   那么剩下的部分包括四部分：兩條含端點(diǎn)的射線（-∞，-1]，[9，+∞），一個(gè)包含端點(diǎn)的小線段[5,8]，這三部分的每一點(diǎn)都是聚點(diǎn)；以及單獨(dú)的一點(diǎn)3，是孤立點(diǎn)。由此就可以知道，閉集可能包含兩種類型的點(diǎn)：

   一、聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）；

   二、孤立點(diǎn)。

   在數(shù)學(xué)中，直線曲線才存在“連續(xù)性”，即中間不間斷，如果是“平面”（二維）或“曲面”（三維），則對應(yīng)的是“連通性”，或者，“道路連通性”：

   a.“連通性”的意思是，不能分成兩個(gè)相互獨(dú)立的”開集“（或者”閉集“），這兩部分都要含有至少一個(gè)元素（點(diǎn)）。比方說，如果一條線上面一個(gè)不含端點(diǎn)的小線段（1,3）是”連通的“，我們無論是從中取出一點(diǎn)2，還是取出一個(gè)小的閉區(qū)間[1.5，2]，剩下的都是開集，如果取出一個(gè)開集，那么取這個(gè)開集產(chǎn)生的端點(diǎn)必然屬于剩下的部分，則剩下的部分就必然不是開集。

   b.“道路連通”的意思是，我們在這個(gè)“面”上面任取兩點(diǎn)，都存在一種連接方式，使得連線上面每一點(diǎn)都在這個(gè)“面上”。比方說，一個(gè)西瓜的表面是連通的，如果我們把西瓜切成兩半，就不連通了?！庇^上看，就是這個(gè)面是由幾個(gè)相互獨(dú)立的小面組成的。

   由上面這個(gè)例子很容易看出來——包含幾部分的閉集很顯然不連續(xù)；

   我們再看一下書上的解釋是：消費(fèi)集中所有的極限點(diǎn)都包含在該集之內(nèi)，因此X是連續(xù)的——

   前半句是沒問題的，就是“閉集”的性質(zhì)之一，不過“閉集包含所有的極限點(diǎn)”不等于“閉集只包含所有的極限點(diǎn)”，不要曲解這句話的意思；

   后半句就有問題了，首先，n維向量集構(gòu)成的是一個(gè)n維空間，對應(yīng)的概念應(yīng)該是“連通”或者“道路連通”；其次，由“包含所有極限點(diǎn)”無法導(dǎo)出“連續(xù)”（“連通”），我們還是以線段為例，閉集[1,2]和點(diǎn)3構(gòu)成的集合是閉集，但是不連續(xù)，且包含了所有的極限點(diǎn)和孤立點(diǎn)。

   實(shí)際上，X的連續(xù)性是3和4一起導(dǎo)出了的結(jié)論。從”閉集“中，只能導(dǎo)出“消費(fèi)集中所有的極限點(diǎn)都包含在該集之內(nèi)”而已。

   由此性質(zhì)三的意義是X包含購買產(chǎn)品的極端情形和邊界（極限點(diǎn)）。

4. “凸集”——

   書上的解釋就比較清楚了：

   
   

第一個(gè)畫紅線的部分即為“凸集”的定義，表示“任兩個(gè)消費(fèi)計(jì)劃的任意的線性組合仍包含在該消費(fèi)集內(nèi)”。即是集合內(nèi)任意兩點(diǎn)的連線都在集合內(nèi)，即“道路連通”的意思。即“連續(xù)性”。

意思是，消費(fèi)集包含任意一種消費(fèi)類型。

到這里，就完全理解了這個(gè)模型的意義。明天我們來具體闡釋，效用函數(shù)的意義！