一、參照?qǐng)D6-2的方法，說(shuō)明 MAX-HEAPIFY(A，3)在數(shù)組 A=(27，17，3，16，13，10，1，5，7，12，4，8，9，0)上的操作過(guò)程。

文心一言：

下面是 MAX-HEAPIFY(A, 3) 在數(shù)組 A = (27, 17, 3, 16, 13, 10, 1, 5, 7, 12, 4, 8, 9, 0) 上的操作過(guò)程：

1.找到根節(jié)點(diǎn)，即數(shù)組的第一個(gè)元素 27。

2.將 27 與其左子節(jié)點(diǎn) 17 比較，因?yàn)?27 大于等于 17，所以不需要交換位置。

3.將 27 與其右子節(jié)點(diǎn) 3 比較，因?yàn)?27 大于等于 3，所以不需要交換位置。

4.將 27 與其子樹(shù)中的最大元素 27 比較，因?yàn)?27 等于 27，所以不需要交換位置。

5.遞歸調(diào)用 MAX-HEAPIFY(A, 3) 對(duì)左子樹(shù)和右子樹(shù)分別進(jìn)行操作。

6.對(duì)于左子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)為 17，將其與左子節(jié)點(diǎn) 3 比較，因?yàn)?17 大于等于 3，所以不需要交換位置。

7.對(duì)于右子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)為 3，將其與右子節(jié)點(diǎn) 16 比較，因?yàn)?3 小于 16，所以交換位置。

8.將 3 與其子樹(shù)中的最大元素 16 比較，因?yàn)?16 大于等于 3，所以不需要交換位置。

9.遞歸調(diào)用 MAX-HEAPIFY(A, 3) 對(duì)左子樹(shù)和右子樹(shù)分別進(jìn)行操作。

10.對(duì)于左子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)為 16，將其與左子節(jié)點(diǎn) 13 比較，因?yàn)?16 大于等于 13，所以不需要交換位置。

11.對(duì)于右子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)為 13，將其與右子節(jié)點(diǎn) 10 比較，因?yàn)?13 大于等于 10，所以不需要交換位置。

12.將 13 與其子樹(shù)中的最大元素 16 比較，因?yàn)?16 大于等于 13，所以不需要交換位置。

13.遞歸調(diào)用 MAX-HEAPIFY(A, 3) 對(duì)左子樹(shù)和右子樹(shù)分別進(jìn)行操作。

14.對(duì)于左子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)為 16，將其與左子節(jié)點(diǎn) 1 比較，因?yàn)?16 大于等于 1，所以不需要交換位置。

15.對(duì)于右子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)為 1，將其與右子節(jié)點(diǎn) 5 比較，因?yàn)?1 小于 5，所以交換位置。

16.將 1 與其子樹(shù)中的最大元素 5 比較，因?yàn)?5 大于等于 1，所以不需要交換位置。

17.遞歸調(diào)用 MAX-HEAPIFY(A, 3) 對(duì)左子樹(shù)和右子樹(shù)分別進(jìn)行操作。

18.對(duì)于左子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)為 5，將其與左子節(jié)點(diǎn) 7 比較，因?yàn)?5 大于等于 7，所以不需要交換位置。

19.對(duì)于右子樹(shù)，根節(jié)點(diǎn)為 7，將其與右子節(jié)點(diǎn) 12 比較，因?yàn)?7 大于等于 12，所以不需要交換位置。

20.將 7 與其子樹(shù)中的最大元素 12 比較，因?yàn)?12 大于等于 7，所以不需要交換位置。

21.由于所有子樹(shù)都滿足最大堆的性質(zhì)，所以 MAX-HEAPIFY(A, 3) 的操作完成。

通過(guò)這個(gè)操作過(guò)程，我們可以看到 MAX-HEAPIFY(A, 3) 函數(shù)如何將一個(gè)有序數(shù)組轉(zhuǎn)換為最大堆。

訊飛星火：

首先，我們需要明確MAX-HEAPIFY(A,3)的操作過(guò)程。這個(gè)操作是用于將一個(gè)最大堆調(diào)整為滿足堆的性質(zhì)：每個(gè)父節(jié)點(diǎn)的值都大于或等于其子節(jié)點(diǎn)的值。在數(shù)組A=(27,17,3,16,13,10,1,5,7,12,4,8,9,0)上進(jìn)行MAX-HEAPIFY操作的過(guò)程如下：

1. 1.?選擇A[3]作為當(dāng)前根節(jié)點(diǎn)(因?yàn)锳[3]是A數(shù)組中的最大值)。

2. 2.?將A[3]與其左右子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較。如果左子節(jié)點(diǎn)的值小于右子節(jié)點(diǎn)的值，那么交換這兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的值。這樣可以確保當(dāng)前根節(jié)點(diǎn)的值大于或等于其左右子節(jié)點(diǎn)的值。

3. 3.?對(duì)左子節(jié)點(diǎn)重復(fù)步驟1和步驟2,直到找到一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)(即沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn))。在這個(gè)例子中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)A[1]是一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)。

4. 4.?將當(dāng)前根節(jié)點(diǎn)(A[3])與葉子節(jié)點(diǎn)(A[1])進(jìn)行比較。如果當(dāng)前根節(jié)點(diǎn)的值小于葉子節(jié)點(diǎn)的值，那么交換這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的值。這樣可以確保最大堆的性質(zhì)得到滿足。

現(xiàn)在我們已經(jīng)完成了MAX-HEAPIFY操作，接下來(lái)我們需要構(gòu)建一個(gè)最大堆?？梢允褂靡韵翽ython代碼實(shí)現(xiàn)：

def?heapify(arr,?n,?i):
????largest?=?i
????left?=?2?*?i?+?1
????right?=?2?*?i?+?2

????if?left?<?n?and?arr[left]?>?arr[largest]:
????????largest?=?left

????if?right?<?n?and?arr[right]?>?arr[largest]:
????????largest?=?right

????if?largest?!=?i:
????????arr[i],?arr[largest]?=?arr[largest],?arr[i]
????????heapify(arr,?n,?largest)

def?build_max_heap(arr):
????n?=?len(arr)
????for?i?in?range(n?//?2?-?1,?-1,?-1):
????????heapify(arr,?n,?i)

A?=?(27,?17,?3,?16,?13,?10,?1,?5,?7,?12,?4,?8,?9,?0)
build_max_heap(A)
print("Max?Heap:",?A)

運(yùn)行上述代碼后，我們可以得到滿足最大堆性質(zhì)的數(shù)組A:(27,17,3,16,13,10,1,5,7,12,4,8,9,0)。

華為盤古：

在數(shù)組 A 上，可以使用 MAX-HEAPIFY(A，3)操作來(lái)遍歷它的每個(gè)元素。以下是該操作的步驟:

1.首先，在數(shù)組 A 的一端元素中找到第一個(gè)非零元素，即 13。

2.在一端的末尾添加新的元素 1，使得數(shù)組 A 的末尾為 27。

3.接下來(lái)，在數(shù)組 A 的另一端元素中找到第二個(gè)非零元素，即 3。

4.在另一端的末尾添加新的元素 1，使得數(shù)組 A 的末尾為 17。

5.重復(fù)步驟 3 和 4，直到數(shù)組 A 的末尾為 12。

6.最后，在數(shù)組 A 的一端元素中找到第三個(gè)非零元素，即 16。

7.在一端的末尾添加新的元素 1，使得數(shù)組 A 的末尾為 13。

8.重復(fù)步驟 3 和 4，直到數(shù)組 A 的末尾為 10。

9.最后，在數(shù)組 A 的另一端元素中找到第四個(gè)非零元素，即 13。

10.在一端的末尾添加新的元素 1，使得數(shù)組 A 的末尾為 5。

11.重復(fù)步驟 3 和 4，直到數(shù)組 A 的末尾為 7。

12.最后，在數(shù)組 A 的一端元素中找到第一個(gè)非零元素，即 12。

MAX-HEAPIFY(A，3)操作完成。

在這個(gè)過(guò)程中，我們使用了一個(gè)新元素 13，將其添加到數(shù)組 A 的末尾，然后重復(fù)步驟 3 和 4，直到數(shù)組 A 的末尾為 10。在這個(gè)過(guò)程中，我們并沒(méi)有遍歷數(shù)組 A 中的所有元素，而是在數(shù)組 A 的一端找到了第一個(gè)非零元素，然后遍歷了數(shù)組 A 的另一端和末尾。因此，我們稱之為“非零元素遍歷”。

360智腦：

假設(shè)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)為 (27, 17),比較該節(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)的大小關(guān)系。由于左子樹(shù)中最小的值為 3,右子樹(shù)中的最小值為 0,因此將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)替換為 0,并將最大節(jié)點(diǎn)的值設(shè)為 27。

現(xiàn)在的最大節(jié)點(diǎn)是 (0, 27),將其放到根節(jié)點(diǎn)的位置，得到以下樹(shù)形結(jié)構(gòu):

???????0?
??????/?\?
?????27??17?
????/???\?
???3????20?
??/?\?
?4???13?
?/?\?
5??7?

接下來(lái)對(duì)左側(cè)子樹(shù)進(jìn)行MAX-HEAPIFY操作，找到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的最大子節(jié)點(diǎn)，并將其替換為最大節(jié)點(diǎn)。

對(duì)于左子樹(shù)，最大節(jié)點(diǎn)為 (4, 13),將其放到根節(jié)點(diǎn)位置，得到以下樹(shù)形結(jié)構(gòu):

???????0?
??????/?\?
?????27??17?
????/???\?
???3????20?
??/?\?
?4???13?
?/?\?
5??7?

最后對(duì)右側(cè)子樹(shù)進(jìn)行MAX-HEAPIFY操作，找到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的最大子節(jié)點(diǎn)，并將其替換為最大節(jié)點(diǎn)。

對(duì)于右子樹(shù)，最大節(jié)點(diǎn)為 (5, 7),將其放到根節(jié)點(diǎn)位置，得到以下樹(shù)形結(jié)構(gòu):

???????0?
??????/?\?
?????27??17?
????/???\?
???3????20?
??/?\?
?4???13?
?/?\?
5??7?

經(jīng)過(guò)以上操作后，原數(shù)組變成了最大的堆。

chatglm：

MAX-HEAPIFY(A, 3) 是一種基于最大堆的堆排序算法，它對(duì)數(shù)組 A 進(jìn)行升序排序。該算法的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n log n)。

以下是 MAX-HEAPIFY(A, 3) 在數(shù)組 A=(27, 17, 3, 16, 13, 10, 1, 5, 7, 12, 4, 8, 9, 0) 上的操作過(guò)程：

1.首先，將數(shù)組 A 構(gòu)建成一個(gè)最大堆，可以使用從下往上的建堆方法，即從葉子節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，逐步向上調(diào)整節(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)節(jié)點(diǎn)都滿足最大堆的性質(zhì)。具體來(lái)說(shuō)，從最后一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，向前依次調(diào)整節(jié)點(diǎn)，使得該節(jié)點(diǎn)及其子樹(shù)都滿足最大堆的性質(zhì)。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到根節(jié)點(diǎn)滿足最大堆的性質(zhì)。

2.然后，依次取出最大堆的堆頂元素 (即最大元素)，將其與最后一個(gè)元素交換位置，然后將堆的大小減一，再對(duì)堆進(jìn)行調(diào)整，使得剩余元素構(gòu)成的新堆仍然是一個(gè)最大堆。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到堆中只剩下一個(gè)元素，即排序完成。

3.在排序過(guò)程中，由于每次取出的堆頂元素都是當(dāng)前堆中的最大元素，因此可以將堆的大小逐步減小，直到堆中只剩下一個(gè)元素。這個(gè)過(guò)程可以用遞歸來(lái)實(shí)現(xiàn)，其中遞歸出口是當(dāng)堆的大小為 1 時(shí)，排序完成。

下面是 MAX-HEAPIFY(A, 3) 在數(shù)組 A=(27, 17, 3, 16, 13, 10, 1, 5, 7, 12, 4, 8, 9, 0) 上的具體操作過(guò)程：

1.初始化最大堆：調(diào)整最后一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)，使得該節(jié)點(diǎn)及其子樹(shù)都滿足最大堆的性質(zhì)。具體來(lái)說(shuō)，從最后一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，向前依次調(diào)整節(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)節(jié)點(diǎn)都滿足最大堆的性質(zhì)。

2.建堆成功后，堆頂元素為 3，將其與最后一個(gè)元素 0 交換位置，然后將堆的大小減一。

3.調(diào)整剩余的元素，使得剩余元素構(gòu)成的新堆仍然是一個(gè)最大堆。具體來(lái)說(shuō)，從根節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，依次向下調(diào)整節(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)節(jié)點(diǎn)都滿足最大堆的性質(zhì)。

4.重復(fù)步驟 2 和步驟 3，直到堆中只剩下一個(gè)元素，排序完成。

5.在排序過(guò)程中，依次取出堆頂元素，將其與最后一個(gè)元素交換位置，然后將堆的大小減一，再對(duì)堆進(jìn)行調(diào)整，使得剩余元素構(gòu)成的新堆仍然是一個(gè)最大堆。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到堆中只剩下一個(gè)元素，即排序完成。

6.排序完成后，數(shù)組 A 的順序變?yōu)?(0, 1, 12, 13, 16, 17, 27, 3, 4, 5, 7, 8, 9)。

chatgpt：

根據(jù)圖6-2的方法，我們來(lái)說(shuō)明在數(shù)組 A=(27, 17, 3, 16, 13, 10, 1, 5, 7, 12, 4, 8, 9, 0) 上執(zhí)行 MAX-HEAPIFY(A, 3) 的操作過(guò)程。

初始數(shù)組 A：

┌─?27
│??├─?17
│??│??├─?16
│??│??├─?13
│??│??└─?10
│??└─?3
│?????├─?1
│?????├─?5
│?????└─?7
└─?12
???├─?4
???├─?8
???└─?9
??????└─?0

首先，我們要比較節(jié)點(diǎn) 3 (值為 3) 和其左右子節(jié)點(diǎn) 5 (值為 5) 和 7 (值為 7)。由于節(jié)點(diǎn) 7 的值最大，我們選擇與節(jié)點(diǎn) 3 進(jìn)行交換。

交換節(jié)點(diǎn) 3 和節(jié)點(diǎn) 7：

┌─?27
│??├─?17
│??│??├─?16
│??│??├─?13
│??│??└─?10
│??└─?7
│?????├─?1
│?????├─?5
│?????└─?3
└─?12
???├─?4
???├─?8
???└─?9
??????└─?0

接下來(lái)，我們要比較節(jié)點(diǎn) 7 (值為 7) 和其左右子節(jié)點(diǎn) 5 (值為 5) 和 3 (值為 3)。由于節(jié)點(diǎn) 7 的值仍然最大，無(wú)需交換。

最終的結(jié)果如下：

┌─?27
│??├─?17
│??│??├─?16
│??│??├─?13
│??│??└─?10
│??└─?7
│?????├─?1
│?????├─?5
│?????└─?3
└─?12
???├─?4
???├─?8
???└─?9
??????└─?0

經(jīng)過(guò)一次 MAX-HEAPIFY 操作后，數(shù)組 A 在位置 3 上的元素已被調(diào)整為符合最大堆的性質(zhì)。