【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。??

第二章三角形——等腰三角形

§2-6等腰三角形性質(zhì)在作圖上的應(yīng)用

【01】我們?cè)谇懊鎺坠?jié)里已經(jīng)學(xué)了一些畫幾何圖形的方法。應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)，我們還可以用圓規(guī)和直尺來(lái)作出幾何圖形。

1、平分一條線段 AB

【02】如果我們把線段 AB 看做是兩個(gè)等腰三角形的公共底邊，向兩側(cè)各作一個(gè)等腰三角形，再連結(jié)它們的頂點(diǎn)的線段，那么根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理3，就可以得到線段 AB 的平分點(diǎn)。

【作法】

????????以 A，B 為圓心，用大于 AB 的長(zhǎng)為半徑，分別畫弧，得到兩個(gè)交點(diǎn) E 和 F（圖2·29）【如果用小于?AB 的長(zhǎng)為半徑分別畫弧就得不到交點(diǎn)】。

????????連結(jié)?EF，那么 EF⊥AB，并且平分 AB，即 AM＝MB? 。

????????象這條直線?EF?垂直且平分?AB 線段，這直線叫做這條線段的垂直平分線。其中點(diǎn) M 是 AB 的中點(diǎn)。

【注意】圖上的虛線是為了說(shuō)明畫法，如果只要求線段 AB 的中點(diǎn)，連 EF 直線也不必畫出，畫出一點(diǎn) M 就最可以了。本題的作法，不僅可以求得線段的中點(diǎn)，還可以求得線段的垂直平分線。

2、平分一已知角 A

【03】平分一已知角，也就是畫出已知角的角平分線。前面已經(jīng)學(xué)過(guò)用量角器或折紙的方法畫角的平分線，現(xiàn)在我們用直尺和圓規(guī)來(lái)畫角的平分線。把已知角 A 當(dāng)作等腰三角形的頂角，它的作法如下：

【作法】

????????以 A 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，和角 A 的兩邊 AB，AC 分別相交于 E，F(xiàn)? 。

????????再以?E?和 F 為圓心，大于 EF 的一半之長(zhǎng)為半徑，分別畫弧，得交點(diǎn)P? 。

????????連結(jié) AP，則 AP 就是要作的 ∠A 的平分線（圖2·30）。

【注意】EP＝FP，也就是以 E 和 F 為圓心畫弧時(shí)，這兩個(gè)半徑必須相等。

3、過(guò)直線外（或者直線上）的一點(diǎn)，畫這直線的垂線

【04】我們可以把這點(diǎn)當(dāng)作等腰三角形的頂點(diǎn)（或者底邊上的中點(diǎn))，就可得到下面的作法。

【作法】

????????以 P 為圓心，取一適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫弧，使能與直線 AB 交于兩點(diǎn) E，F(xiàn)，再以 E 和 F 為圓心，大于 EF 的一半之長(zhǎng)為半徑分別畫弧，得交點(diǎn) Q? 。

????????連結(jié)?PQ?直線，就是所要作的垂線（圖2·31）。

【05】注意本節(jié)所敘述的作圖方法，是只用直尺和圓規(guī)這兩種工具來(lái)完成的作圖法，我們稱它為尺規(guī)作圖法。在尺規(guī)作圖里，可以利用直尺（不用它的刻度）和圓規(guī)這兩種工具進(jìn)行下面的簡(jiǎn)單作圖：?

????????1.通過(guò)兩已知點(diǎn)可畫一條直線一一用直尺。

????????2.已知圓心和半徑可畫一個(gè)圓一用圓規(guī)。

????????3.畫兩已知直線、一已知直線和一已知圓或兩已知圓；如果相交，則可求它們的交點(diǎn)——用直尺和圓規(guī)。

【06】這些簡(jiǎn)單的作圖，可以表示如圖2·32? 。

【07】我們約定，用上述的這些簡(jiǎn)單作圖，經(jīng)過(guò)有限次能夠作出的圖形，叫做尺規(guī)作圖可能問(wèn)題。否則就叫做尺規(guī)作圖不可能問(wèn)題。但是，在實(shí)際生產(chǎn)中的作圖，為了省事和減少誤差，人們還創(chuàng)造了一些作圖的輔助工具，例如有刻度的直尺、三角板、丁字尺，量角器等等。

習(xí)題2-6

1、任意畫一條線段，用圓規(guī)和直尺把它 4 等分。[提示二等分后再二等分]

2、任意畫一個(gè)三角形，用圓規(guī)和直尺畫它的三條邊的垂直平分線。

3、畫一鈍角三角形，用圓規(guī)和直尺畫出它的三條高。

4、任意畫一個(gè)角，再把它 4 等分。