如果三個(gè)立體圖形都是球體，由于球體的超對稱性，任意過球心的平面都可將此球體平分，故對于三個(gè)球體，連接三個(gè)球心構(gòu)成的平面即符合要求。

但對于任意立體圖形，問題變得復(fù)雜。

先考慮二維情況——一條直線是否能同時(shí)平分兩個(gè)平面圖形？當(dāng)平面圖形是圓、正方形、長方形、平行四邊形、乃至偶數(shù)條邊的正多邊形，都可以連接這兩個(gè)圖形的重心獲得這條直線，三角形的對稱性不夠。

換種思路，在極坐標(biāo)系中，任意一條直線可由r和α確定。固定α，改變r(jià)（在這里r可以是負(fù)值）獲得一組平行線，總有一個(gè)r值可平分第一個(gè)平面圖形。對于不同α，都必有r可平分第一個(gè)平面圖形。用P(r,α)表示平分第一個(gè)平面圖形的直線，r和α是連續(xù)變化的，即α微調(diào)，則r微調(diào)，反之r微調(diào)，則α微調(diào)。注意，這種定義使得直線有上方、下方之分——α由正變?yōu)樨?fù)，方向相反。

接下來需要一個(gè)引理——一個(gè)圓形材料，密度連續(xù)變化，則必有一組對徑點(diǎn)（直徑的兩端），兩處密度相等。

其實(shí)是否為圓形材料不重要，只要是閉合曲線材料，且密度連續(xù)變換，結(jié)論依舊。利用這個(gè)結(jié)論，將引理中P點(diǎn)坐標(biāo)由(x,y)換成(r,α)，ρ(P)含義改為第二個(gè)平面圖形在直線上方的面積。則在滿足平分第一個(gè)平面圖形的所有直線中，必有一組對徑點(diǎn)使得第二個(gè)平面圖形面積平分（即有兩條直線滿足要求，其實(shí)是同一條直線，方向相反）。

對于三維情況，任意平面可由r、α、β確定，需要的引理升級為——在地球上，必有一組對徑點(diǎn)，兩處溫度、壓強(qiáng)均相等。這里的隱含條件是地球表面溫度、壓強(qiáng)均連續(xù)變化。這里比較抽象，最后一張圖有思維跳躍，僅為示意圖，嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)證明用到拓補(bǔ)學(xué)。赤道上一圈P點(diǎn)對應(yīng)的G(P)閉合曲線，包圍(0,0)點(diǎn)或經(jīng)過(0,0)點(diǎn)），二者必居其一，這是因?yàn)槌嗟郎系腜點(diǎn)是一組組對徑點(diǎn)，必滿足G(P')=-G(P)。

有了這個(gè)引理，將P(x,y,z)換成滿足平分第一個(gè)立體圖形的截取平面P(r,α,β)，將T溫度(P)和p壓強(qiáng)(P)改為第二個(gè)、第三個(gè)立體圖形在截取平面上方的體積即可。

本問題來自一個(gè)生活中實(shí)際問題——火腿三明治包含面包、火腿、蔬菜，并非以同樣形式均勻分布，是否一刀可將這三者同時(shí)平分。推廣可得結(jié)論——n維空間中有n個(gè)n維立體圖形，必有一個(gè)n-1維平面可同時(shí)平分這n個(gè)n維立體圖形。