[CH12下]電子動(dòng)力學(xué)的半經(jīng)典模型

2023-03-22 15:51 作者:啊嗚西嗚安 0人讀過 | 我要投稿

接[CH12上]

我們可以根據(jù)加速度和 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 之間的夾角大于還是小于90度來確定粒子呈現(xiàn)正電荷還是負(fù)電荷的運(yùn)動(dòng)行為。由于 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%20%5Ctextbf%7Ba%7D%3D%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Ctextbf%7Bv%7D%3D%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Csum_%7Bij%7D%5Cdot%7Bk%7D_i%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E%7D%7B%5Cpartial%20k_i%5Cpartial%20k_j%7D%5Cdot%7Bk%7D_j%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.18%7D$

所以 $a%5Ccdot%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 為負(fù)的充要條件是

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Csum_%7Bij%7D%5CDelta_i%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20k_i%5Cpartial%20k_j%7D%5CDelta_j%3C0%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.19%7D$

$m%5E%5Cstar$ 稱為空穴有效質(zhì)量，或者有效質(zhì)量張量：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5BM%5E%7B-1%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5D_%7Bij%7D%3D%5Cpm%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20k_i%5Cpartial%20k_j%7D%3D%5Cpm%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v_i%7D%7B%5Cpartial%20k_j%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.20%7D$

這里符號“+”或者“-”表示“空穴”或者“電子”。由于

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bv%7D%7D%7Bdt%7D%3D%5Cpm%20M%5E%7B-1%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.21%7D$

公式(12.21)可以寫為

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AM(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ctextbf%7Ba%7D%3D-%5Cpm%20e(%5Ctextbf%7BE%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.22%7D$

質(zhì)量張量在決定位于各向異性極大值附近的空穴(或者位于各向異性極小值附近的電子)的動(dòng)力學(xué)行為起著重要作用。若空穴(電子)的波包足夠小，人們可以用它在最大處的值替換質(zhì)量張量，從而得到一個(gè)線性方程，只比自由粒子的方程稍微復(fù)雜一點(diǎn)。有效質(zhì)量不同于裸質(zhì)量，它概括了晶格內(nèi)部周期場的作用，使我們能夠簡單用外場決定電子的加速度。

均勻磁場中的半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

獲得金屬和半導(dǎo)體電子特性的重要來源之一就是通過測量它們在均勻磁場中的各種響應(yīng)。均勻磁場下半經(jīng)典方程可以寫作，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D%26%3D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%2C%5C%5C%0A%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D-e%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.23%7D$

從公式(12.23下)可以看出，波矢 $k_z$ 在沿磁場方向?yàn)槌?shù)，即在z方向上 $dk_z%2Fdt%3D0$ 。并且，由于 $%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 在z方向上為0，這也相當(dāng)于 $dE(%5Ctextbf%7Bk%7D)%2Fdt%3D0$ 。所以，電子在k空間內(nèi)總是沿著垂直于磁場的平面和等能面的交線運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。

電子的速度 $%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 部分取決于能量求k的梯度，見公式(12.23上)。現(xiàn)在我們對公式(12.23下)兩邊同時(shí)乘以 $%5Chat%7BH%7D$ ，注意這里的H只是一個(gè)表示磁場方向的單位矢量。公式(12.23下)變?yōu)椋?/p>

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Chat%7BH%7D%5Ctimes%20%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D-%5Cfrac%7BeH%7D%7Bc%7D(%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D-%5Chat%7BH%7D(%5Chat%7BH%7D%5Ccdot%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D))%5C%5C%0A%26%3D-%5Cfrac%7BeH%7D%7Bc%7D%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.24%7D$

公式(12.24)右邊磁場的單位矢量 $%5Chat%7BH%7D$ 點(diǎn)乘速度 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D$ 再乘以單位矢量 $%5Chat%7BH%7D$ 相當(dāng)于把平行于磁場方向的速度篩選出來，再用速度 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D$ 減去平行于磁場方向的速度則得到了垂直于磁場方向的速度。根據(jù)公式(12.24)我們還可以得到，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp(t)-%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp(0)%3D-%5Cfrac%7B%5Chbar%20c%7D%7BeH%7D%5Chat%7BH%7D%5Ctimes(%5Ctextbf%7Bk%7D(t)-%5Ctextbf%7Bk%7D(0))%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.25%7D$

由于叉乘相當(dāng)于第二個(gè)矢量旋轉(zhuǎn)90度，所以我們認(rèn)為實(shí)空間的軌道在垂直磁場的平面投影就是k空間的軌道旋轉(zhuǎn)90度并乘上因子 $%5Chbar%20c%2FeH$ ，見圖2.

這里指出，自由電子時(shí) $E%3D%5Chbar%5E2k%5E2%2F2m$ ，等能面為球面，所以平面和等能面的交線為圓，一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)90度仍然是圓。圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0At_2-t_1%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7Ddt%3D%5Cint_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_1%7D%5E%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_2%7D%5Cfrac%7Bdk%7D%7B%7C%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7C%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.26%7D$ 根據(jù)公式(12.23)，公式(12.26)可以化為，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0At_2-t_1%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2c%7D%7BeH%7D%5Cint_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_1%7D%5E%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_2%7D%5Cfrac%7Bdk%7D%7B%7C(%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D)_%5Cperp%7C%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.27%7D$ 這里 $(%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D)_%5Cperp$ 為 $(%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 垂直于磁場的分量。若令 $%5CDelta%20(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 為在軌道平面上在 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 點(diǎn)與軌道垂直并連接 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 點(diǎn)和同一平面上能量為 $E%2B%5CDelta%20E$ 的等能軌道的矢量，見圖3。由于 $%5CDelta%20E$ 非常小，有

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5CDelta%20E%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%20%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%20%7D%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Cright)_%5Cperp%20%5Ccdot%20%5CDelta%20(%5Ctextbf%7Bk%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.28%7D$

此外，由于 $(%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D)_%5Cperp$ 和 $%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%7D$ 平行，所以公式(12.28)可以寫為，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5CDelta%20E%3D%5Cleft%7C%20%5Cleft(%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%20%20%20%5Cright)_%5Cperp%5Cright%7C%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.29%7D$

公式(12.27)重新寫為，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0At_2-t_1%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20c%7D%7BeH%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CDelta%20E%7D%5Cint_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_1%7D%5E%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_2%7D%5CDelta(%5Ctextbf%7Bk%7D)dk%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.30%7D$

$%5Cbegin%7Balign%7D%0At_2-t_1%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20c%7D%7BeH%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_%7B1%2C2%7D%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.31%7D$

這里A表示從波矢1到2和 $%5CDelta%20(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 所圍成的面積。這時(shí)，若令 $%5Ctextbf%7Bk%7D_1%3D%5Ctextbf%7Bk%7D_2$ ，則 $t_2-t_1$ 表示軌道的周期T。若A是k空間的閉合區(qū)域，則

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AT(E%2Ck_z)%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20c%7D%7BeH%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20E%7DA(E%2Ck_z)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.32%7D$

自由電子的情況下則為，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AT%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Comega_c%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20mc%7D%7BeH%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.33%7D$

回旋有效質(zhì)量可以定義為，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0Am%5E%5Cstar%20(E%2Ck_z)%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A(E%2Ck_z)%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.34%7D$

這里強(qiáng)調(diào)，這里的有效質(zhì)量不一定等于我們之前定義的有效質(zhì)量。

均勻電場和磁場中的半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

若在靜磁場的基礎(chǔ)上再加上一個(gè)靜電場，公式(12.25)需要增加一個(gè)額外項(xiàng)，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp%20(t)-%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp(0)%26%3D-%5Cfrac%7B%5Chbar%20c%7D%7BeH%7D%5Chat%7BH%7D%5Ctimes%20%5B%5Ctextbf%7Bk%7D(t)-%5Ctextbf%7Bk%7D(0)%5D%2B%5Ctextbf%7Bw%7Dt%2C%0A%5C%5C%5Ctextbf%7Bw%7D%26%3Dc%5Cfrac%7BE%7D%7BH%7D(%5Chat%7B%5Ctextbf%7BE%7D%7D%5Ctimes%5Chat%7B%5Ctextbf%7BH%7D%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.35%7D$

所以，在實(shí)空間中垂直于磁場方向的運(yùn)動(dòng)是k空間軌道旋轉(zhuǎn)和縮放的疊加，并且以速度 $%5Ctextbf%7Bw%7D$ 進(jìn)行漂移。

為了確定k空間的軌道，我們注意到E和H垂直時(shí)，公式(12.1)可以寫為，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D%20-%5Cfrac%7Be%7D%7Bc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Coverline%7BE%7D%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ctimes%20%5Ctextbf%7BH%7D%2C%5C%5C%0A%5Coverline%7BE%7D%26%3DE(%5Ctextbf%7Bk%7D)-%5Chbar%5Ctextbf%7Bk%7D%5Ccdot%5Ctextbf%7Bw%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.36%7D$