迭代制導(dǎo)真空單級(jí)定點(diǎn)著陸原理【1】

2023-08-07 21:22 作者:咆哮鼠啊啊啊 0人讀過 | 我要投稿

前言

上篇文章簡(jiǎn)單介紹了迭代制導(dǎo)真空單級(jí)定點(diǎn)著陸的計(jì)算流程，從這篇開始我要做原理講解，從頭開始推導(dǎo)，無論是否看過上篇文章都不會(huì)影響你無法理解這篇文章

求求各位觀眾給上篇和這篇點(diǎn)個(gè)贊投個(gè)幣吧，b站專欄不是Markdown，手打公式遇到一堆bug真的很累人，也求求b站好好優(yōu)化一下公式輸入，點(diǎn)擊確定不僅公式?jīng)]出現(xiàn)，文字被刪掉一大堆實(shí)在是太折磨人了

上篇鏈接：

這篇文章主要介紹最優(yōu)化控制方法求解一個(gè)簡(jiǎn)化的定點(diǎn)著陸問題

我不是自動(dòng)化或者航天相關(guān)專業(yè)的，全靠聽過幾節(jié)現(xiàn)代控制論的網(wǎng)課讀懂論文加以復(fù)現(xiàn)，不保證正確，如有錯(cuò)誤還請(qǐng)指正

物理量

$%5Cvec%7Br%7D%2Cx%2Cy%2Cz$ ：初始位置

$%5Cvec%7Br%7D_f%2Cx_f%2Cy_f%2Cz_f$ ：設(shè)定的終端位置

$%5Cvec%7Bv%7D%2Cv_x%2Cv_y%2Cv_z$ ：初始速度

$%5Cvec%7Bv%7D_f%2Cv_%7Bfx%7D%2Cv_%7Bfy%7D%2Cv_%7Bfz%7D$ ：設(shè)定的終端速度

$%5Cvec%7Ba%7D%2Ca_x%2Ca_y%2Ca_z$ ：加速度

$%5Cvec%7Bu%7D%2Cu_x%2Cu_y%2Cu_z$ ：推力方向單位矢量（和上篇不同，不是推力矢量）

$u$ ：由 $u_x%2Cu_y%2Cu_z$ 六元矢量

$X$ ：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)矢量

$X_0%2CX_f$ ：初始、終端運(yùn)動(dòng)狀態(tài)矢量

$t$ ：已飛行時(shí)間

$t_f$ ：終端時(shí)間

$m$ ：質(zhì)量

$T$ ：引擎推力

$%5Cvarphi%2C%5Cpsi$ ：姿態(tài)角

姿態(tài)角說明

推力的方向矢量 $%5Cvec%7Bu%7D$ 向xy平面做投影 $%5Cvec%7Bu%7D_%7Bxy%7D$

$%5Cpsi$ 是從 $%5Cvec%7Bu%7D_%7Bxy%7D$ 到 $%5Cvec%7Bu%7D$ 的夾角，以向z軸正方向?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03">負(fù)

$%5Cvarphi$ 是從x軸到 $%5Cvec%7Bu%7D_%7Bxy%7D$ 到夾角，以向y軸正方向?yàn)檎?/p>

與習(xí)慣意義上的俯仰和偏航有區(qū)別，注意區(qū)分

老圖，下篇文章也會(huì)見面，phi和psi與常見俯仰角偏航角定義不同，注意區(qū)分

問題描述

在自由空間（無重力）中，已知火箭的初始位置 $%5Cvec%7Br%7D$ 和速度 $%5Cvec%7Bv%7D$ ，火箭推力固定為 $T$ ，通過調(diào)整推力的方向，使火箭最終滿足終端速度 $%5Cvec%7Bv%7D_f$ 以及終端位置中的兩個(gè)分量 $y_f%2Cz_f$ ，并盡可能減少燃料的消耗

補(bǔ)充說明：

為了方便計(jì)算，這里我們把火箭當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，推力可以瞬間從一個(gè)方向換到另一個(gè)方向

對(duì)于推力固定的問題，完全約束火箭的終端位置和速度，是難以求解的，需要放松一個(gè)方向的位置約束

通過調(diào)整坐標(biāo)系，讓坐標(biāo)系的一個(gè)軸與放松約束的方向相同，更加便于計(jì)算

狀態(tài)方程

我更喜歡叫它演化方程，狀態(tài)方程的具體形式比較難懂，先把它的原型也就是物理原理寫上來

$%5Cvec%7Bu%7DT%20%3D%20m%5Cvec%7Ba%7D$

沒錯(cuò)，是牛頓第二定律，后面狀態(tài)方程的具體形式雖然和這個(gè)極其簡(jiǎn)潔的牛頓第二定律之間有不小的區(qū)別，但一定不要忘了他們其實(shí)是一回事

牛頓第二定律是關(guān)于 $%5Cvec%7Br%7D%3D%5Br_x%2Cr_y%2Cr_z%5D%5ET$ 的二階微分方程，數(shù)學(xué)上不太好算，我們換一個(gè)思路

這里先拋出來一個(gè)問題：假如已知火箭全程受到的推力信息 $%5Cvec%7Bu%7D(t)T$ ，現(xiàn)在選擇火箭飛行中某一時(shí)刻 $t_k$ ，請(qǐng)你選擇一組這一時(shí)刻的物理量 $X(t_k)$ ，能夠根據(jù)這組物理量 $X(t_k)$ 和推力信息 $%5Cvec%7Bu%7D(t)T$ ，推算出這些物理量所有時(shí)刻的取值 $X(t)$

我們首先考慮只要位置信息 $%5Cvec%7Br%7D%3D%5Br_x%2Cr_y%2Cr_z%5D%5ET$ 是否足夠。做個(gè)簡(jiǎn)單的思想實(shí)驗(yàn)，比如給一個(gè)飛行的網(wǎng)球拍一張照片，雖然你知道網(wǎng)球持續(xù)受到豎直向下的重力，但你無法判斷球從哪里飛來，向哪飛去；我們?cè)侔阉俣?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cvec%7Bv%7D%3D%5Bv_x%2Cv_y%2Cv_z%5D%5ET" alt="%5Cvec%7Bv%7D%3D%5Bv_x%2Cv_y%2Cv_z%5D%5ET">也加進(jìn)來，這樣從力到加速度、從加速度到速度、從速度到位置之間的關(guān)系就全都能描述清楚。所以知道位置 $%5Cvec%7Br%7D%3D%5Bx%2Cy%2Cz%5D%5ET$ 和速度 $%5Cvec%7Bv%7D%3D%5Bv_x%2Cv_y%2Cv_z%5D%5ET$ 一共6個(gè)分量是確定火箭在三維空間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的必要條件

如果不知道球的速度矢量，你無法分辨這個(gè)網(wǎng)球到底是飛向球拍還是遠(yuǎn)離球拍

這樣我們把位置和速度合并成一個(gè)含有6個(gè)元素的狀態(tài)矢量 $X%3D%5Bv_x%2Cx%2Cv_y%2Cy%2Cv_z%2Cz%5D%5ET$ ，讓它在 $t%3D0$ 和 $t%3Dt_f$ 分別為 $X_0%2CX_f$ ，讓它對(duì)時(shí)間求導(dǎo) $%5Cdot%7BX%7D%3D%5Ba_x%2Cv_x%2Ca_y%2Cv_y%2Ca_z%2Cv_z%5D%5ET$ 。我們不急著把 $%5Cvec%7Ba%7D$ 帶進(jìn)去，再拆解一下

$%5Cdot%7BX%7D%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_x%5C%5Cv_x%5C%5Ca_y%5C%5Cv_y%5C%5Ca_z%5C%5Cv_z%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A0%5C%5Cv_x%5C%5C0%5C%5Cv_y%5C%5C0%5C%5Cv_z%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%2B%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_x%5C%5C0%5C%5Ca_y%5C%5C0%5C%5Ca_z%5C%5C0%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

這里拆解出來的兩項(xiàng)中，第一項(xiàng)可以寫成一個(gè)矩陣A和狀態(tài)矢量X相乘的形式

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A0%5C%5Cv_x%5C%5C0%5C%5Cv_y%5C%5C0%5C%5Cv_z%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A0%260%260%260%260%260%5C%5C%0A1%260%260%260%260%260%5C%5C%0A0%260%260%260%260%260%5C%5C%0A0%260%261%260%260%260%5C%5C%0A0%260%260%260%260%260%5C%5C%0A0%260%260%260%261%260%5C%5C%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Av_x%5C%5Cx%5C%5Cv_y%5C%5Cy%5C%5Cv_z%5C%5Cz%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

第二項(xiàng)直接帶入牛頓第二定律

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Aa_x%5C%5C0%5C%5Ca_y%5C%5C0%5C%5Ca_z%5C%5C0%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%20%5Cfrac%7BT%7D%7Bm%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Au_x%5C%5C0%5C%5Cu_y%5C%5C0%5C%5Cu_z%5C%5C0%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cfrac%7BT%7D%7Bm%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccos%5Cvarphi%5Ccos%5Cpsi%5C%5C0%5C%5C%5Csin%5Cvarphi%5Csin%5Cpsi%5C%5C0%5C%5C-%5Csin%5Cpsi%5C%5C0%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

好的我們把上面的內(nèi)容整理一下

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7BX%7D%3Df(X%2Cu%2Ct)%3DAX%2BBu%20%5C%5C%0A%5Cend%7Balign%7D$

$%0AA%20%3D%20%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A0%260%260%260%260%260%5C%5C%0A1%260%260%260%260%260%5C%5C%0A0%260%260%260%260%260%5C%5C%0A0%260%261%260%260%260%5C%5C%0A0%260%260%260%260%260%5C%5C%0A0%260%260%260%261%260%5C%5C%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%0AX%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Av_x%5C%5Cx%5C%5Cv_y%5C%5Cy%5C%5Cv_z%5C%5Cz%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%2C%0AB%3D%5Cfrac%7BT%7D%7Bm%7D%2C%0Au%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccos%5Cvarphi%5Ccos%5Cpsi%5C%5C0%5C%5C%5Csin%5Cvarphi%5Csin%5Cpsi%5C%5C0%5C%5C-%5Csin%5Cpsi%5C%5C0%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

這就是狀態(tài)方程

最優(yōu)控制

接下來的部分涉及現(xiàn)代控制論，深入的講會(huì)有泛函變分的東西，這里直接給出結(jié)論

在這個(gè)問題里，最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)描述是

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cmin_%7B%7Bu%7D(t)%7DJ%26%3D%5Cint_0%5E%7Bt_f%7Ddt%20%5C%5C%0As.t.%20%5C%20%5Cdot%7BX%7D(t)%26%3Df(X%2Cu%2Ct)%2C%20%5C%20X(t%3D0)%3DX_0%2CX(t%3Dt_f)%3DX_f%0A%5Cend%7Balign%7D$

第一行的含義是，通過調(diào)整 $u(t)$ 的形式，讓燃燒時(shí)間盡可能減少（由于我們?cè)O(shè)定火箭是固定推力，所以燃燒時(shí)間越短越省燃料），注意積分號(hào)里面被積分的 $L(X%2Cu%2Ct)%3D1$

第二行是需要滿足的約束，包括狀態(tài)演化（第一個(gè)等式）和初始、終端條件（第二、三個(gè)等式）

這里我們?cè)O(shè)一個(gè)待定的變量 $%5Clambda%3D%5B%5Clambda_%7Bvx%7D%2C%5Clambda_%7Bx%7D%2C%5Clambda_%7Bvy%7D%2C%5Clambda_y%2C%5Clambda_%7Bvz%7D%2C%5Clambda_z%5D%5ET$ ，不需要知道 $%5Clambda$ 的取值，它只是用于計(jì)算的工具。構(gòu)建H函數(shù)

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AH%26%3DL(X%2Cu%2Ct)%2B%5Clambda%5ETf(X%2Cu%2Ct)%20%5C%5C%0A%26%3D1%2B%5Cfrac%7BF%7D%7Bm%7D(%5Clambda_%7Bvx%7D%5Ccos%5Cvarphi%5Ccos%5Cpsi%2B%5Clambda_%7Bvy%7D%5Csin%5Cvarphi%5Ccos%5Cpsi%2B%5Clambda_%7Bvz%7D%5Csin%5Cpsi)%2B%5Clambda_xv_x%2B%5Clambda_yv_y%2B%5Clambda_zv_z%0A%5Cend%7Balign%7D$

H函數(shù)也只是計(jì)算用的工具，并不需要特別關(guān)注。滿足最優(yōu)控制時(shí)，H滿足

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%5Cvarphi%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%5Cpsi%7D%3D0$

展開得到

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Clambda_%7Bvx%7D%5Csin%5Cvarphi%5Ccos%5Cpsi-%5Clambda_%7Bvy%7D%5Ccos%5Cvarphi%5Ccos%5Cpsi%26%3D0%20%5C%5C%0A%5Clambda_%7Bvx%7D%5Ccos%5Cvarphi%5Csin%5Cpsi%2B%5Clambda_%7Bvy%7D%5Csin%5Cvarphi%5Csin%5Cpsi%2B%5Clambda_%7Bvz%7D%5Ccos%5Cpsi%26%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D$ （1）

這個(gè)方程(1)先放在這里，后面會(huì)用

回到H函數(shù)，無論是否達(dá)到最優(yōu)控制，H函數(shù)本身還有一個(gè)特殊的性質(zhì)

$%5Cdot%7B%5Clambda%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20X%7D$

這樣能解得

$%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Clambda_x%7D%26%3D%5Cdot%7B%5Clambda_y%7D%3D%5Cdot%7B%5Clambda_z%7D%3D0%5C%5C%0A%5Cdot%7B%5Clambda%7D_%7Bvx%7D%26%3D-%5Clambda_x%5C%5C%0A%5Cdot%7B%5Clambda%7D_%7Bvy%7D%26%3D-%5Clambda_y%5C%5C%0A%5Cdot%7B%5Clambda%7D_%7Bvz%7D%26%3D-%5Clambda_z%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Cright.$

做個(gè)積分

$%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Clambda_%7Bvx%7D%26%3D%5Clambda_%7Bvx0%7D-%5Clambda_%7Bx0%7Dt%5C%5C%0A%5Clambda_%7Bvy%7D%26%3D%5Clambda_%7Bvy0%7D-%5Clambda_%7By0%7Dt%5C%5C%0A%5Clambda_%7Bvz%7D%26%3D%5Clambda_%7Bvz0%7D-%5Clambda_%7Bz0%7Dt%5C%5C%0A%5Clambda_%7Bx%7D%26%3D%5Clambda_%7Bx0%7D%5C%5C%0A%5Clambda_%7By%7D%26%3D%5Clambda_%7By0%7D%5C%5C%0A%5Clambda_%7Bz%7D%26%3D%5Clambda_%7Bz0%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Cright.$

這里下標(biāo)帶0的都是與時(shí)間無關(guān)的積分常量

前面提到了在x方向不做約束，所以上面的方程里讓 $%5Clambda_%7Bx0%7D%3D0$ ，那么 $%5Clambda_%7Bvx%7D%3D%5Clambda_%7Bvx0%7D$ ，得到

$%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Clambda_%7Bvx%7D%26%3D%5Clambda_%7Bvx0%7D%5C%5C%0A%5Clambda_%7Bvy%7D%26%3D%5Clambda_%7Bvy0%7D-%5Clambda_%7By0%7Dt%5C%5C%0A%5Clambda_%7Bvz%7D%26%3D%5Clambda_%7Bvz0%7D-%5Clambda_%7Bz0%7Dt%5C%5C%0A%5Clambda_%7By%7D%26%3D%5Clambda_%7By0%7D%5C%5C%0A%5Clambda_%7Bz%7D%26%3D%5Clambda_%7Bz0%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Cright.$ （2）

現(xiàn)在聯(lián)立(1)(2)，能得到

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctan%5Cvarphi%26%3D%5Cfrac%7B%5Clambda_%7Bvy0%7D-%5Clambda_%7By0%7Dt%7D%7B%5Clambda_%7Bvx0%7D%7D%20%5C%5C%0A%5Ctan%5Cpsi%26%3D%5Cfrac%7B%5Clambda_%7Bvz%7D-%5Clambda_%7Bz0%7Dt%7D%7B%5Clambda_%7Bvx0%7D%5Ccos%5Cvarphi%2B(%5Clambda_%7Bvy0%7D-%5Clambda_%7By0%7Dt)%5Csin%5Cvarphi%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

這就是滿足初末約束時(shí)，最省燃料的姿態(tài)變化公式的具體形式

這些公式中的參數(shù)需要根據(jù)初末狀態(tài)約束求解，不過在這之前，不要忘了我們求解的是一個(gè)經(jīng)過大量簡(jiǎn)化的問題，其中和現(xiàn)實(shí)情況最大的區(qū)別就是沒有引力，至于這些問題怎么解決，我們放到下篇文章說

我的一點(diǎn)困惑

寫到狀態(tài)方程時(shí)我就遇到了這個(gè)問題，火箭不是網(wǎng)球，在飛行的過程中是有持續(xù)的質(zhì)量減少的。如果一定要求，能根據(jù)某一時(shí)刻的狀態(tài)矢量，計(jì)算出任意時(shí)刻的狀態(tài)矢量，那么質(zhì)量m和質(zhì)量消耗率 $%5Cdot%7Bm%7D$ 出現(xiàn)在狀態(tài)方程的X和A里是不可避免的。我查了不少資料，但其中用到變化質(zhì)量的部分，都是后面計(jì)算姿態(tài)變化公式中的常量時(shí)，用到的齊奧爾科夫斯基公式里才出現(xiàn)的，而在前面使用最優(yōu)控制求解姿態(tài)變化公式部分，都沒有明確說用的到底是變質(zhì)量還是恒定質(zhì)量。這里還需請(qǐng)各位路過的大佬解答一下，感激不盡

參考資料

[1] 丁文浩. 月球探測(cè)器動(dòng)力下降段制導(dǎo)控制方法研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2022.

[2] 李偉. 基于精確控制解的運(yùn)載火箭迭代制導(dǎo)自適應(yīng)性分析研究[D]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2012.

[3] oPengLuo. 迭代制導(dǎo)總結(jié). https://blog.csdn.net/qq_25777815/article/details/91858142

標(biāo)簽：坎巴拉太空計(jì)劃定點(diǎn)著陸迭代制導(dǎo)最優(yōu)化控制

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