引例：嘗試證明一個(gè)（很緊的）不等式

我們一般需要通過數(shù)學(xué)歸納法尋找一個(gè)充分條件（本質(zhì)上是一種構(gòu)造）：

最下面那一行式子表示 n-1 到 n 的時(shí)候不等式左右兩邊的變化量大小關(guān)系，這種情況下隨著 n 的增大，要證的式子始終成立：

我們可以用對(duì)數(shù)均值不等式來證明：

這一類的不等式根本上是通過歐拉-麥克勞林公式進(jìn)行積分上的放縮：

• 與求和相對(duì)應(yīng)的積分（離散 - 連續(xù)）
• 修正項(xiàng)（去掉就得到大小關(guān)系）

事實(shí)上，我們用 E-M 公式一般是在分析漸進(jìn)行為，而當(dāng)我們?nèi)ス烙?jì)余項(xiàng)時(shí)，這種方法并不比數(shù)學(xué)歸納法簡(jiǎn)單。