（基于本文錄制了三個(gè)小視頻：

第一個(gè)視頻對應(yīng)信道和噪聲的講解? https://www.bilibili.com/video/BV1De411T7RH/

第二個(gè)視頻對應(yīng) 8-PSK 的對數(shù)似然比推導(dǎo) https://www.bilibili.com/video/BV1w14y1v7me/

第三個(gè)是 log 近似計(jì)算? https://www.bilibili.com/video/BV1fY4y1K7Ga/

）

在通信系統(tǒng)中，我們經(jīng)常需要計(jì)算 LLR（Log Likelihood Ratio）對數(shù)似然比，尤其是在信道譯碼采用軟譯碼的時(shí)候。這個(gè)小文章，就來推導(dǎo)一下在不同調(diào)制下，如何根據(jù)接收到的信號，計(jì)算 LLR，我們主要討論 三種調(diào)制：BPSK, QPSK, 8-PSK.

我們先講 QPSK 的，這個(gè)比較有代表性，簡化后就是 BPSK，進(jìn)一步擴(kuò)展就是 8-PSK.

一組 0 和 1 組成的序列，經(jīng)過 QPSK 編碼后變成一個(gè)復(fù)數(shù)，每兩個(gè)比特調(diào)制成一個(gè)復(fù)數(shù).
經(jīng)過高斯白噪聲信道傳輸，這里我們把實(shí)部和虛部看成是分別獨(dú)立傳輸?shù)?，分別加上獨(dú)立的高斯白噪聲的干擾。（注 1：實(shí)際上是實(shí)部和虛部在相同的信道上傳輸，只是由相互正交的高頻信號做載波發(fā)送的，可以看成是分別傳輸?shù)?br>注 2：實(shí)部我們稱之為 in-phase，用 I 做下標(biāo)，虛部我們稱之為 quadrature，用 Q 做表示）。

通信系統(tǒng)中，我們關(guān)心的是在收到信號 y 的情況下，判斷發(fā)送方發(fā)送的比特是 1 或者 0 的概率，可以表示成? p(b=0|y)? 和 p(b=1|y).

很多情況下，我們關(guān)心兩者的比值，因?yàn)槿绻? p(b=0|y)? 大于 p(b=1|y)，我們就有理由可以判斷 b=0，否則，我們更傾向于判斷 b=1.? 用比值來表示就是：


為了更簡化一些運(yùn)算（后面會解釋），一般還要再取對數(shù)，即：

那么判決準(zhǔn)則為：

接下啦我們把上面的比值，做一下推導(dǎo)，推導(dǎo)出似然比的形式，因?yàn)? p(y|b) 的形式，稱之為似然函數(shù)，而 p(b|y) 一般稱之為后驗(yàn)概率。

先對 p(b|y) 做一下推導(dǎo)：


則：


上式推導(dǎo)的最后一步，我們是假定發(fā)送數(shù)據(jù)是 0 還是 1 的概率是相等的，都是 0.5，這個(gè)假定大部分情況下都是成立的，在數(shù)據(jù)生成的階段，一般都有一步做 偽隨機(jī)化，即讓 0 和 1 出現(xiàn)的數(shù)量是相等的。

則上面公式的最后結(jié)果，我們稱之為 對數(shù)似然比 Log Likelihood Ratio (LLR)? 。

我們實(shí)際上關(guān)心的是后驗(yàn)概率的對數(shù)比值，但是，在在 0 還是 1 的概率是相等的假設(shè)前提下，其實(shí)是與對數(shù)似然比等同的，所以，后面我們就直接推導(dǎo)對數(shù)似然比的具體表達(dá)式了。

均值為 0 方差為 的白噪聲，符合以下公式的高斯分布：

則如果發(fā)送的是 x 收到的是 y 的概率就是：

8-PSK 下，三個(gè)比特調(diào)制為一個(gè)復(fù)數(shù)，我們把這連個(gè)比特記為? ，調(diào)制后的符號記為 ，接收到的復(fù)數(shù)信號為 .

映射關(guān)系如下圖所示：

令：

映射關(guān)系為：


"8-PSK" 下要分別求:

（一）

下面來分析，如何計(jì)算? 的對數(shù)似然比，即：

所以，需要分別求出來? 和 。

我們分析其中一個(gè)，另外一個(gè)是類似的。
有四種情況：

?有四種情況：

則這個(gè)比值：

分子和分母都無法提取出一些公因式可以約掉的了，因此，就不能化簡成一個(gè)簡單的表達(dá)形式了。

下面來分析，如何計(jì)算? 的對數(shù)似然比，即：



所以，需要分別求出來 ? 和 。

我們分析其中一個(gè)，另外一個(gè)是類似的。

有四種情況：

有四種情況：

（三）

下面來分析，如何計(jì)算? 的對數(shù)似然比，即：

所以，需要分別求出來?? 和
我們分析其中一個(gè)，另外一個(gè)是類似的。

?有四種情況：

?有四種情況：

?log 指數(shù)的近似定理

定理：?

因?yàn)?

所以

最后可以推導(dǎo)一個(gè)近似公式：

推而廣之