許多同學(xué)在學(xué)習(xí)平面向量的時候，總會遇到三角形的各種“心”，但是你們又分不清楚這些“心”，今天本督給你們簡單的聊聊三角形的這些“心心”，并且在平面向量中有哪些重要結(jié)論，以后拿來直接用就行

如果有用，直接點贊加關(guān)注……

一、三角形的重心：三角形三條中線的交點

（1）重心O是每條中線的三等分點，即AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF

接下來給你證明：

過C點作CP//BE，交AD延長線于點P

所以就有△BOD≌△CPD

所以O(shè)D=DP

又因為OE//PC，E是AC的中點

所以O(shè)E是△APC的中位線

O是AP中點，OA=OP

因為OD是OP的一半，所以O(shè)D也是OA的一半

所以O(shè)D:OA=1:2

剩下的兩條邊同理可證

用到了初中全等三角形的知識，這不有手就行？

（2）如果O是△ABC的重心，那么向量OA+向量OB+向量OC=0向量

逆命題也成立。

下面證明一下：

（3）如果將△ABC放入平面直角坐標(biāo)系，那么

二、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點，也是三角形外接圓的圓心

（1）外心O到三角形每個頂點的距離都相等，并且均為三角形外接圓的半徑

即OA=OB=OC=r

你要問我r怎么求，呵呵，你學(xué)過正弦定理嗎？

知道r是嘛玩意兒么？對，就是外接圓的半徑，不是有手就行？

（2）如果O是△ABC的外心，那么

式子都一樣，只說第一種證明

（3）如果O是△ABC的外心，那么

式子都一樣，只說第一種證明

（4）如果△ABC放入平面直角坐標(biāo)系，那么外心O的坐標(biāo)依然可以求

一種思路是設(shè)外心坐標(biāo)為(x,y)，然后利用到頂點的距離相等，根據(jù)兩點間的距離公式，列出方程組解出x,y，可以，不過計算量比較大，你是那種算題咔咔咔能算一頁草稿紙的人，我也不攔著你好吧。

另一種思路是

利用兩條垂直平分線的直線方程，聯(lián)立求交點坐標(biāo)。雖然也是解方程組，不過它沒有平方的介入，導(dǎo)致過程會稍微簡單一點。

求垂直平分線的直線方程，只需要

①先求出一條邊的中點坐標(biāo)，

②利用垂直求出它的斜率，

③利用點斜式求出垂直平分線的直線方程，即可

三、三角形的垂心：三角形三條高的交點

如果O是△ABC的垂心，那么

證明過程同樣類似，只說前兩個式子為什么相等

四、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點，也是三角形內(nèi)切圓的圓心

（1）三角形的角平分線定理1：

在△ABC中，如果AD是∠BAC的平分線，那么

下面給出證明：（有手就行）

過點C作CP//AB，交AD延長線于點P

所以“8”字型，△ABD∽△PCD

所以AB:PC=BD:DC

因為∠1=∠2，∠1=∠P

所以∠2=∠P

所以△APC是等腰三角形，

所以AC=PC

所以AB:AC=BD:DC

（2）三角形的角平分線定理2：如果AD是△ABC的角平分線，那么

或者也可以寫成

（3）內(nèi)切圓的半徑

假設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，△ABC的面積為S，那么

其中L表示△ABC的周長

（4）如果O是△ABC的內(nèi)心，那么

下面證明它一下：

根據(jù)角平分線定理1：

再利用一遍角平分線定理1：

在△ABD中，

所以：

有沒有發(fā)現(xiàn)紅色部分，都是剛才的結(jié)論？全是0吧，所以證完了

以上就是三角形的各種心在平面向量中的應(yīng)用，當(dāng)然三角形還有其他心，但是平時用得少，甚至用不到，除了裝杯以外，沒啥卵用。這些足夠你應(yīng)付平時的習(xí)題了。

還是那句話，如果對你有用的話，點贊關(guān)注就完事了

微信公眾號：數(shù)學(xué)有手就行