一、整體感受：有技巧

二、需要復習的

1、連續(xù)函數(shù)介值定理以及零點定理

2、單調(diào)函數(shù)定義以及嚴格單調(diào)函數(shù)定義

3、對于數(shù)列奇次項和偶次項都收斂于同一極限時，an收斂

4、反證法的靈活運用

5、一些函數(shù)放縮技巧，比如tanx≥x,x∈（0，π/2）等

6、Taylor定理，在求解Stolz公式有應用，Day5會具體講怎么用Stolz公式的

三、具體題目

1【西安交大】

當了解清楚對于數(shù)列奇次項和偶次項都收斂于同一極限時，an收斂，分別去證奇次項和偶次項收斂于統(tǒng)一極限。

具體做法：

一問：

①先用數(shù)學歸納法把xn范圍框定在【0，1】

②再利用題干xn+1=cosxn，遞推出來xn+2=cos(cosxn)，利用cos(cosx)在【0，1】上的單調(diào)遞增性，且x1<x3,可以得到cos(cosx1)≤cos(cosx3)，即x3≤x5；以此類推得到x2n-1≤x2n+1，說明{x2n+1}單調(diào)遞增.

③利用cosx在【0，1】單調(diào)遞減，然后得到cos(x1)>cosx(x3),即x2>x4，以此類推得到x2n>x2n+2，所以｛x2n｝單調(diào)遞減；

二問：

作為子列單調(diào)有界必然收斂，不妨記兩個極限為a,b，然后利用極限性質(zhì)，得到cos(cosb)=b,cos(cosa)=a；

觀察上述等式，不妨記一個函數(shù)F（x）=x-cos（cosx），求導得到一階導大于0，然后0和1的端點處取值一個<0,一個>0，利用介值定理以及嚴格遞增，說明存在唯一的x0使得F（x0）=0，同時滿足這個式子的還有a和b，但由于唯一性，說明x0=a=b，由于數(shù)列奇次項和偶次項都收斂于同一極限x0，所以該數(shù)列｛xn｝收斂

注：第二問中代入0和1的端點值到F（x）中發(fā)現(xiàn)一大一小是關(guān)鍵一步?。。?/span>

【補充】題1的2個變式，一個把cosx換成sinx，一個把cosx換成arctanx做，思路是一樣的。過程中可能用到三角函數(shù)的一些放縮技巧來做，以及兩道變式的第3問用到了Stolz公式以及Taylor展開，在之后會詳細展開，這里只要知道如何用即可。

2【暨南大學】

先對函數(shù)關(guān)于x求導，發(fā)現(xiàn)在x取值范圍上連續(xù)且嚴格單調(diào)遞減，然后代入端點值0和π/3，發(fā)現(xiàn)一個大于等于1，一個小于1，然后利用連續(xù)函數(shù)的介值定理，得到唯一的xn在給定x范圍上取值為f(xn)=1;

接下來驗證｛xn｝單調(diào)遞增，利用反證法，假設它單調(diào)遞減做，利用1=fn(xn)<fn+1(xn+1)=1，利用1<1矛盾，所以得到｛xn｝單調(diào)遞增。

結(jié)合單調(diào)遞增有上界，得到收斂，記為a，然后代入xn到fn(x)中，得到等比數(shù)列求和，然后利用迫斂性求出（cosxn）^(n+1)極限為0，得出cosa=1/2,a=π/3.

【補充】題2也有兩個變式，把cosx換成sinx和x了，證明思路類似，好好練習。

3【中國科學院大學】（這道題22+23華東也考了）

證明思路：利用單調(diào)有界，先去說明單調(diào)再去說明有界性，

利用了一個重要不等式1/（n+1）<ln(1+1/n)<1/n，這個重要不等式可以通過拉格朗日中值定理推，記f(x)=lnx即可

V.S.2022華師就記了f(x)=lnx，2023華師將數(shù)列極限與數(shù)項級數(shù)也巧妙結(jié)合了一下，可以好好嘗試一下

【補充，本題原型，利用單調(diào)遞減以及積分第一中值定理，不同題目可以取不同的f(x)，題3取的f(x)就是1/x】

4【北京郵電大學】

一問：利用先求導，發(fā)現(xiàn)一階導大于0，說明連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增，然后再利用兩個端點一個≤1，一個>1，然后利用連續(xù)函數(shù)的介值定理可以得到唯一的xn在x范圍中的fn(xn)取值為1；

二問：思路同題2，利用fn(xn)=fn+1(xn+1)=1,想去說明xn單調(diào)遞增，但是用反證法，假設xn+1≤xn，1/2≤xn+1≤xn<1，發(fā)現(xiàn)xn^n≥xn+1^n>xn+1^(n+1)，那么此時xn^n+xn>xn+1^(n+1)+xn+1，于是1>1,矛盾，因此｛xn｝單調(diào)遞增，于是把極限a設出來，這個a∈【1/2，1】,想要去證明極限a=1,不妨反證，假設a<1，然后取極限推出了a=1，矛盾.因此a只能為1

四、2022-2023華師三道真題