作為數(shù)學(xué)建模的編程手還掌握一些各類模型常用算法，數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)類模型、分類模型、預(yù)測(cè)類模型比較常用的方法總結(jié)如下：

接下來對(duì)這些比較典型的模型進(jìn)行詳細(xì)進(jìn)行介紹說明。

一、評(píng)價(jià)模型

在數(shù)學(xué)建模中，評(píng)價(jià)模型是比較基礎(chǔ)的模型之一，通常根據(jù)問題的特點(diǎn)和需求，設(shè)計(jì)合適的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和指標(biāo)，對(duì)不同方案或模型的性能進(jìn)行評(píng)估和比較，以幫助做出決策。典型模型包括：層次分析法、模糊綜合評(píng)價(jià)、熵值法、TOPSIS法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析、秩和比法、灰色關(guān)聯(lián)法。

?1、層次分析法

（1）基本思想

AHP層次分析法是一種解決多目標(biāo)復(fù)雜問題的定性和定量相結(jié)合進(jìn)行計(jì)算決策權(quán)重的研究方法。它通過構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)，將復(fù)雜的決策問題分解成多個(gè)層次，并使用專家判斷和比較來確定各個(gè)因素的權(quán)重，從而得出最終決策結(jié)果。比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。

（2）分析步驟

• 第一步：構(gòu)造判斷矩陣；

• 第二步：計(jì)算權(quán)重；

• 第三步：一致性檢驗(yàn)。

（3）軟件操作使用SPSSAU進(jìn)行層次分析法，輸入判斷矩陣即可：

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判斷矩陣解讀：門票相對(duì)于景色來講，重要性更高，所以為3分；相反，景色相對(duì)于門票來講，則為0.33333分。交通相對(duì)于景色來更重要為2分，其余類似下去。

2、模糊綜合評(píng)價(jià)

（1）基本思想

模糊綜合評(píng)價(jià)是一種處理具有模糊信息的評(píng)價(jià)方法。在模糊綜合評(píng)價(jià)中，將模糊的評(píng)價(jià)指標(biāo)通過隸屬度函數(shù)轉(zhuǎn)化為隸屬度，然后根據(jù)權(quán)重給予不同指標(biāo)不同的重要性。最后，通過對(duì)隸屬度進(jìn)行加權(quán)求和，得到一個(gè)綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。模糊綜合評(píng)價(jià)方法能夠有效處理不確定性和模糊性的問題，適用于現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜決策。

（2）分析步驟

• 第一步：確定評(píng)價(jià)指標(biāo)和評(píng)語集；

• 第二步：確定權(quán)重向量矩陣A和構(gòu)造權(quán)重判斷矩陣R；

• 第三步：計(jì)算權(quán)重并進(jìn)行決策評(píng)價(jià)。

（3）軟件操作

上傳數(shù)據(jù)至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【模糊綜合評(píng)價(jià)】，將變量拖拽到右側(cè)相應(yīng)的分析框中，點(diǎn)擊“開始分析”，操作如下圖：

?3、熵值法

（1）基本思想

熵值法是一種客觀賦權(quán)法，用于確定各個(gè)指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中的權(quán)重。熵值是不確定性的一種度量。信息量越大，不確定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不確定性越大，熵也越大。因而利用熵值攜帶的信息進(jìn)行權(quán)重計(jì)算，結(jié)合各項(xiàng)指標(biāo)的變異程度，利用信息熵這個(gè)工具，計(jì)算出各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重，為多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)提供依據(jù)。

（2）分析步驟

• 第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；

• 第二步：非負(fù)平移；

• 第三步：計(jì)算權(quán)重并進(jìn)行決策評(píng)價(jià)。

（3）軟件操作

上傳數(shù)據(jù)至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【熵值法】，將變量拖拽到右側(cè)相應(yīng)的分析框中，點(diǎn)擊“開始分析”，操作如下圖：

?4、TOPSIS法

（1）基本思想

TOPSIS法是一種基于距離和相似性度量的多屬性決策方法。TOPSIS法首先將多個(gè)備選方案與理想解進(jìn)行比較，計(jì)算每個(gè)備選方案與理想解之間的相似性和距離。然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果，評(píng)估和排序各個(gè)備選方案，選擇最佳的方案。TOPSIS法能夠較好地處理多屬性決策問題，特別適用于需要考慮多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的情況。

（2）分析步驟

• 第一步：準(zhǔn)備好數(shù)據(jù)，并且進(jìn)行同趨勢(shì)化處理（需要研究者自行處理）；

• 第二步：數(shù)據(jù)歸一化處理解決量綱問題（數(shù)據(jù)處理->生成變量，通常選擇‘平方和歸一化’）；

• 第三步：找出最優(yōu)和最劣矩陣向量（SPSSAU自動(dòng)處理）；

• 第四步：分別計(jì)算評(píng)價(jià)對(duì)象與正理想解距離D+或負(fù)理想解距離D-；

• 第五步：結(jié)合距離值計(jì)算得出接近程序C值，并且進(jìn)行排序，得出結(jié)論。

（3）SPSSAU軟件操作

上傳數(shù)據(jù)至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【TOPSIS法】；將變量拖拽到右側(cè)分析框中；點(diǎn)擊“開始分析”，操作如下圖：

?5、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

（1）基本思想

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA是一種多指標(biāo)投入和產(chǎn)出評(píng)價(jià)的研究方法。其應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型計(jì)算比較決策單元（DMU）之間的相對(duì)效率，對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象做出評(píng)價(jià)。

（2）分析步驟

• 第一步：確定決策單元與評(píng)價(jià)指標(biāo)；

• 第二步：DEA模型選擇；

• 第三步：計(jì)算效率評(píng)價(jià)；

• 第四步：效率分析和改進(jìn)。

（3）SPSSAU軟件操作

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【DEA】，將變量拖拽到右側(cè)相應(yīng)分析框中，選擇“DEA類型”，點(diǎn)擊“開始分析”，操作如下圖：

6、秩和比法

（1）基本思想

秩和比(RSR)方法是一種基于排序的模型比較方法。其實(shí)質(zhì)原理是利用了RSR值信息進(jìn)行各項(xiàng)數(shù)學(xué)計(jì)算，RSR值介于0~1之間且連續(xù)，通常情況下，該值越大說明評(píng)價(jià)越‘優(yōu)’。

（2）分析步驟

• 第一步：列出原始數(shù)據(jù)，一行代表一個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象，一列代表一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。最終為m*n矩陣；

• 第二步：對(duì)m*n矩陣即原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算秩值；

• 第三步：利用Step2的秩值，計(jì)算得到RSR值和RSR值排名；

• 第四步：列出RSR的分布表格情況并且得到Probit值；

• 第五步：計(jì)算回歸方程；

• 第六步：進(jìn)行排序，并且進(jìn)行分檔等級(jí)。

（3）軟件操作

上傳數(shù)據(jù)至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【秩和比】，將變量拖拽到右側(cè)相應(yīng)分析框中，選擇“編制方法”、“檔次數(shù)量”，點(diǎn)擊“開始分析”，操作如下圖：

7、灰色關(guān)聯(lián)法

（1）基本思想

灰色關(guān)聯(lián)分析法通過研究數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性大小（母序列與特征序列之間的關(guān)聯(lián)程度），通過關(guān)聯(lián)度（即關(guān)聯(lián)性大小）進(jìn)行度量數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)程度，從而輔助決策的一種研究方法。

（2）分析步驟

• 第一步：確定母序列和特征序列，且準(zhǔn)備好數(shù)據(jù)格式；

• 第二步：針對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理（通常情況下需要）；

• 第三步：求解母序列和特征序列之間的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)值；

• 第四步：求解關(guān)聯(lián)度值；

• 第五步：對(duì)關(guān)聯(lián)度值進(jìn)行排序，得出結(jié)論。

（3）軟件操作

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【灰色關(guān)聯(lián)法】；將變量拖拽到右側(cè)相應(yīng)分析框中，選擇“量綱化方式”，點(diǎn)擊“開始分析”，操作如下圖：

二、分類模型

數(shù)學(xué)建模的分類模型是指根據(jù)已知的分類標(biāo)號(hào)將輸入的數(shù)據(jù)集建立分類的數(shù)據(jù)挖掘方法。分類的目標(biāo)是將數(shù)據(jù)的每個(gè)個(gè)案都盡可能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到一個(gè)目標(biāo)分類中。典型模型包括K-means聚類、Fisher判別分析、二元logistic回歸、決策樹、隨機(jī)森林、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類、K近鄰算法等。

1、K-means聚類

（1）基本思想

K-means算法是典型的基于距離的聚類算法，采用距離作為相似性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，即認(rèn)為兩個(gè)對(duì)象的距離越近，其相似度就越大。該算法認(rèn)為簇是由距離靠近的對(duì)象組成的，因此把得到緊湊且獨(dú)立的簇作為最終目標(biāo)。因?yàn)樾枰?jì)算距離，所以決定了K-means算法只能處理數(shù)值型數(shù)據(jù)，而不能處理分類屬性型數(shù)據(jù)。

（2）分析步驟

• 第一步：K-means算法首先需要選擇K個(gè)初始化聚類中心

• 第二步：計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象到K個(gè)初始化聚類中心的距離，將數(shù)據(jù)對(duì)象分到距離聚類中心最近的那個(gè)數(shù)據(jù)集中，當(dāng)所有數(shù)據(jù)對(duì)象都劃分以后，就形成了K個(gè)數(shù)據(jù)集（即K個(gè)簇）

• 第三步：接下來重新計(jì)算每個(gè)簇的數(shù)據(jù)對(duì)象的均值，將均值作為新的聚類中心

• 第四步：最后計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象到新的K個(gè)初始化聚類中心的距離，重新劃分

• 第五步：每次劃分以后，都需要重新計(jì)算初始化聚類中心，一直重復(fù)這個(gè)過程，直到所有的數(shù)據(jù)對(duì)象無法更新到其他的數(shù)據(jù)集中。

（3）軟件操作

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【聚類】；將變量拖拽到右側(cè)相應(yīng)分析框中，點(diǎn)擊“開始分析”，操作如下圖：

補(bǔ)充：SPSSAU在進(jìn)行聚類分析時(shí)，將相應(yīng)的數(shù)據(jù)類型放入右邊的分析欄中，可自動(dòng)識(shí)別數(shù)據(jù)進(jìn)行定量or定類or混合數(shù)據(jù)的聚類分析。

• 當(dāng)僅進(jìn)行定量數(shù)據(jù)分析時(shí)，SPSSAU默認(rèn)使用K-means聚類方法進(jìn)行聚類；

• 當(dāng)僅進(jìn)行定類數(shù)據(jù)分析時(shí)，SPSSAU默認(rèn)使用K-modes聚類方法進(jìn)行聚類；

• 當(dāng)進(jìn)行混合型（定量+定類）數(shù)據(jù)分析時(shí)，SPSSAU將使用K-prototype聚類方法進(jìn)行聚類。

2、Fisher判別分析

（1）基本思想

Fisher判別分析基本思想是通過將樣本投影到一條直線上，使得同類樣本間的距離盡可能小，不同類樣本間的距離盡可能大，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)樣本的分類。

（2）軟件操作

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【判別分析】；將變量拖拽到右側(cè)相應(yīng)分析框中，點(diǎn)擊“開始分析”，操作如下圖：

3、二元logistic回歸

（1）基本思想

二元logistic回歸分析是一種常用的分類方法，其基本思想是通過建立一個(gè)邏輯回歸模型來對(duì)樣本進(jìn)行分類。將預(yù)測(cè)變量的線性組合轉(zhuǎn)化為一個(gè)在0到1之間的概率值，然后以此概率值作為分類的依據(jù)。相對(duì)于其他分類方法，二元logistic回歸分析具有模型簡單、參數(shù)可解釋性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中得到了廣泛的使用。

（2）分析步驟

第一步：建立二元logistic回歸模型；第二步：對(duì)模型進(jìn)行評(píng)估；第三步：應(yīng)用模型進(jìn)行分類預(yù)測(cè)。

（3）軟件操作

將數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU系統(tǒng)，分析頁面右側(cè)選擇【二元logit回歸】；將變量拖拽到右側(cè)相應(yīng)分析框中，點(diǎn)擊“開始分析”

4、機(jī)器學(xué)習(xí)

決策樹、隨機(jī)森林、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、K近鄰算法、樸素貝葉斯、支持向量機(jī)可歸類為機(jī)器學(xué)習(xí)進(jìn)行分類的這一類，有關(guān)六類典型機(jī)器學(xué)習(xí)算法可以下面這篇以往文章

三、預(yù)測(cè)模型

1、ARIMA預(yù)測(cè)

（1）基本思想

ARIMA模型是最常見的時(shí)間序列預(yù)測(cè)分析方法，適用于平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)。它包括三個(gè)部分：自回歸（AR）、差分（I）和移動(dòng)平均（MA）。SPSSAU可以智能地找出最佳的AR模型，I即差分值和MA模型，并且最終給出最佳模型預(yù)測(cè)結(jié)果。當(dāng)然，研究人員也可以自行設(shè)置自回歸階數(shù)p，差分階數(shù)d值和移動(dòng)平均階數(shù)q，然后進(jìn)行模型構(gòu)建。

具體來說，ARIMA模型有以下幾個(gè)參數(shù)：

（2）軟件操作

SPSSAU進(jìn)行ARIMA預(yù)測(cè)操作如下：

2、指數(shù)平滑法

（1）基本思想

指數(shù)平滑法常用于數(shù)據(jù)序列較少時(shí)使用，且一般只適用于中短期預(yù)測(cè)。對(duì)于長期趨勢(shì)或復(fù)雜非線性關(guān)系的數(shù)據(jù)可能表現(xiàn)不佳。指數(shù)平滑可以繼續(xù)拆分為一次平滑、二次平滑、三次平滑；一次平滑法為歷史數(shù)據(jù)的加權(quán)預(yù)測(cè)，二次平滑法適用于具有一定線性趨勢(shì)的數(shù)據(jù)，三次平滑法適用于具有一定曲線關(guān)系時(shí)使用。如果不設(shè)置平滑方法，SPSSAU將自動(dòng)運(yùn)行三種平滑方法，選擇最優(yōu)效果時(shí)對(duì)應(yīng)的平滑方法。

指數(shù)平滑法中，初始值S0和平滑系數(shù)alpha是兩個(gè)參數(shù)，用于確定預(yù)測(cè)模型的初始狀態(tài)和對(duì)過去觀察值的權(quán)重。說明如下表：

（2）軟件操作

SPSSAU進(jìn)行指數(shù)平滑法操作如下：

3、灰色預(yù)測(cè)模型

（1）基本思想

灰色預(yù)測(cè)模型可針對(duì)數(shù)量非常少（比如僅4個(gè)），數(shù)據(jù)完整性和可靠性較低的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行有效預(yù)測(cè)。其利用微分方程來充分挖掘數(shù)據(jù)的本質(zhì)，建模所需信息少，精度較高，運(yùn)算簡便，易于檢驗(yàn)，也不用考慮分布規(guī)律或變化趨勢(shì)等。但灰色預(yù)測(cè)模型一般只適用于短期數(shù)據(jù)、有一定指數(shù)增長趨勢(shì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，不建議進(jìn)行長期預(yù)測(cè)。

（2）軟件操作

SPSSAU進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)模型操作如下：

4、馬爾科夫預(yù)測(cè)

（1）基本思想

馬爾可夫預(yù)測(cè)是一種基于馬爾可夫鏈的預(yù)測(cè)方法。馬爾可夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)隨機(jī)過程，具有馬爾可夫性質(zhì)，即未來狀態(tài)的概率只取決于當(dāng)前狀態(tài)，與過去狀態(tài)無關(guān)。馬爾可夫預(yù)測(cè)利用這種性質(zhì)來進(jìn)行未來事件的預(yù)測(cè)。

馬爾可夫預(yù)測(cè)涉及3個(gè)術(shù)語名詞，如下說明：

（2）軟件操作

SPSSAU馬爾可夫預(yù)測(cè)操作如下：

5、機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)

機(jī)器學(xué)習(xí)是一種強(qiáng)大的技術(shù)，用于從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)模式和規(guī)律，并利用這些知識(shí)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

有關(guān)六類機(jī)器學(xué)習(xí)算法說明，上周已經(jīng)寫過詳細(xì)介紹，在此不再進(jìn)行贅述。