空間相干性

# 空間相干性

在偏移量的研究中，希望光源為點(diǎn)光源

## 有寬度光源的處理

### 點(diǎn)光源的疊加

#### 普通光源發(fā)光原理

微光課題的發(fā)光過程有：

• 自發(fā)輻射
• 受激輻射

普通光源（非激光光源）以自發(fā)輻射為主，時一種隨機(jī)過程，其發(fā)光的相位差大多數(shù)為完全隨機(jī) ——摘自《新概念物理教程.光學(xué)》-趙凱華.2004. P111

在原子層面上，光的來源于能級躍遷

因此光輻射之間相互獨(dú)立且隨機(jī)，從而相位差為一個完全隨機(jī)的

在有寬度光源上任取兩個點(diǎn)，二者之間的的相位沒有關(guān)聯(lián)（這里不考慮相關(guān)的影響，其難度較大）

#### 兩點(diǎn)點(diǎn)光源的疊加的影響因素

可畫出干涉條紋，如下

則條紋的疊加的考慮：

• 光強(qiáng) I

單一的條紋存在光強(qiáng) I 為 0的點(diǎn)，

而上圖的疊加，為在其中一條處于暗條紋，而另一條紋為亮條紋的疊加。則會出現(xiàn)如下結(jié)果，整體光強(qiáng)上移，如下圖

• 對比度

總結(jié)歸納為疊加之后的對比度更小，疊加前對比度較大（對比度：最值的差值大小）。甚至還會出現(xiàn)對比為很小的狀況，如下圖

• 襯比度 γ

采用這樣的定義式的目的：

• 取值范圍： 0~1
• 無對比度時，取值為0；對比度最鮮明取值為1

### 兩點(diǎn)點(diǎn)光源

#### 光強(qiáng) I 的疊加

一點(diǎn)光源處于中心對稱位置，另一點(diǎn)光源向上方偏移；由偏移于條紋的定性關(guān)系，可知，條紋下移

• 定性判斷

分別會出兩點(diǎn)點(diǎn)光源的 x-I 畫像，則疊加圖形亦可得

當(dāng)兩點(diǎn)在光波處于反向時，其疊加之后為一定值

• 定量計算

對稱位置的光強(qiáng)為 I 時，計算反向光波的疊加

則偏移后的光強(qiáng) I‘ 為

疊加之后的取值為

#### 兩相位反向的點(diǎn)光源的疊加

偏移的差值為（其中Δx為兩明/暗條紋的間距）

由此可計算出，相位相反的點(diǎn)光源的位置關(guān)系

### 連續(xù)光源的疊加

#### 對稱的線光源

由對稱點(diǎn)像兩邊延申的點(diǎn)光源，其圖像

• 先繪出對稱的光源的 x-I （位置-光強(qiáng)）圖像
• 再分別繪出兩端的點(diǎn)光源的圖像

可得

多個條紋疊加定性判斷：

• 暗部：由相位相反疊加（即相對對稱為的偏移量為1/2Δx）,可知，此時條紋處于最暗
• 亮部：而于對稱的點(diǎn)光源的相位差較小的，其為逐漸像對稱中心逐漸變亮，直至對稱點(diǎn)光源條紋為最亮
• 平面分布：光波函數(shù)具有周期性，因此在二維條紋上其為線性條紋的等距平移的疊加，最終為“對角線狀分布”

多個條紋疊加分析

• 光源寬度

取特殊點(diǎn)分析

處于最暗點(diǎn)的點(diǎn)光源

則兩最暗點(diǎn)光源對應(yīng)的對應(yīng)點(diǎn)的偏移距 δs 為

其中：雙孔間距d、雙孔屏間距 D 與 光源和雙孔距 R

而此可求出寬度 b0

光寬度的應(yīng)用

• 雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)中的鈉光源，當(dāng)鈉線性光源較小時，可見明顯的干涉條紋（襯比度較大）

### 光場的空間相關(guān)性

如下當(dāng)寬度 b 值一定，雙孔間距 d 與 光源與雙孔距 R可變

可得

#### 相干范圍

可做出符合的雙孔間距d與光源雙孔距 R的滿足預(yù)取，如下圖（為陰影部分，ps: 算是陰影部分吧，2333）

則該陰影區(qū)域稱為相干范圍

#### 相干范圍張角

上式需要左近似處理，雙孔間距 d 遠(yuǎn)小于 光源雙孔距 R，亦可得相干范圍的張角（即孔徑角θ）

#### 相干長度

相干長度：兩點(diǎn)光源在一定的光源雙孔距下，相干的范圍長度

# 章節(jié)小結(jié)

薄膜干涉的等厚條紋

# 薄膜干涉

薄膜干涉的情況

• 在薄膜截面上發(fā)生反射與干涉，再對反射光與折射光匯聚所形成的干涉

• 光再兩個不同的點(diǎn)的反射與折射，后再同一點(diǎn)匯聚，產(chǎn)生的干涉

整體需要再撥碼干涉中需要探討的內(nèi)容

注意：在實(shí)際過程中，同時存在等厚條紋和等傾條紋

## 等厚條紋與等傾條紋的區(qū)別

• 干涉位置：等厚干涉在薄膜表面；等傾條紋需要光線匯聚之后才呈現(xiàn)

# 等厚干涉

【思路】光程差、相位差 => 幾何關(guān)系 => 條紋形狀，一些物理量的值（等距條紋的間距大小、同心圓條紋的半徑）

## 等厚條紋的光程差

可求得經(jīng)過折射在反射中多行進(jìn)距離為

假設(shè)：光源距離薄膜表面遠(yuǎn)大于薄膜厚度，張角很小，因此折射點(diǎn)到反射光路的投影距與光源距折射點(diǎn)長度相等

在折射光路再反射與薄膜表面構(gòu)成的封閉三角形中有

由垂直關(guān)系可得光程差 ΔL 為

有折射定律整理得

其中h 為薄膜厚度

## 半波損失

皆有力學(xué)得性質(zhì)，給出一些結(jié)論

• 當(dāng)末端為固定端，相位改變 Π
• 當(dāng)末端為自由端，相位不改變

在光學(xué)上，反射時

結(jié)論如下

• 光疏介質(zhì)到光密介質(zhì)，發(fā)生半波損失
• 光密介質(zhì)到光疏介質(zhì)，不發(fā)生半波損失

### 半波損失的發(fā)生條件

• 在反射時
• 從光疏介質(zhì)到光密介質(zhì)

### 相位差的產(chǎn)生方式

• 光程差
• 半波損失

在兩束光的半波損失對疊加的影響

• 兩者都不發(fā)生半波損失，疊加不需考慮半波損失的影響
• 兩者都發(fā)生半波損失，疊加不需考慮半波損失的影響
• 僅有其中一束光線發(fā)生半波損失，疊加需要考慮半波損失的影響

### 兩光束的半波損失

半波損失的發(fā)生情況條件

• n1 > n > n2,都不發(fā)生
• n1 < n < n2 都不發(fā)生
• 其他情況，其中一束光線發(fā)生半波損失

此時需要考慮相位的變化

也有另一種看法，將半波損失當(dāng)成附加光程差λ/2【up主推薦使用該方式】

## 條紋狀況

亮紋需要滿足的條件

注意區(qū)分整體光程差ΔL' 還是 表觀光程差 ΔL

### 亮條紋分析

上式中項(xiàng)（-λ/2）是否存在取決于是否有半波損失，有半波損失則存在該項(xiàng)

### 暗條紋分析

## 薄膜厚度對干涉的影響

控制傾角 i 不變

當(dāng)傾角 i = 0°時， cos i = 1

在傾角 i = 0°條件下，可得總體光程差 ΔL'

當(dāng)厚度 h 不均勻時

應(yīng)用：由薄膜干涉判斷物體表面的平整度

## 模型一：空氣劈

注意：上圖的“薄”是指：傾斜薄膜很波，以致于可忽略光線在其上發(fā)生的折射；“小”是指：傾角 α 很小

### 求解總體光程差 ΔL'

由半波損失的性質(zhì)可知光線在向上往下傳播過程中

• 上方傾斜面發(fā)生的反射（光密介質(zhì)到光疏介質(zhì)）不出現(xiàn)半波損失
• 下半面發(fā)生反射（光疏介質(zhì)到光密介質(zhì)）發(fā)生半波損失

因此總體光程差ΔL' 為

亮條紋

暗條紋：

厚度差值 Δh

注意：這只是厚度的差值，并不是條紋間距

原因如下：

可得條紋間距Δs為

### 傾角α 與 條紋間距Δs的關(guān)系

### 平整度檢查

則通過條紋的光差可知，不平整的地方條紋不連續(xù)

• 平面凸起 => 光程差變化遲滯一點(diǎn)，進(jìn)而干涉條紋向右彎曲
• 平面凹陷 => 光程差超前一點(diǎn)，進(jìn)而干涉條紋向左邊彎曲

### 求出傾斜角α

求出傾斜角 α 的作用如：測量物體的直徑

其中R可通過計算計算條紋的數(shù)量求出

### 空氣劈的偏移量

傾斜面產(chǎn)生偏移之后會產(chǎn)生什么影響？

其中N為條紋移動的數(shù)量，δh為傾斜面的偏移量；D為條紋間距的移動距離，Δs為條紋間距

#### 應(yīng)用：膨脹計

## 模型二：牛頓環(huán)

可知從俯視圖觀看可得到一個同心圓的干涉條紋

條紋信息求解：

• 條狀條紋求解條紋間距 Δs
• 同心圓干涉條紋求解條紋半徑 r

### 求解條紋半徑 R

已知表觀光程差 ΔL 為 2h

考慮是否存在半波損失，其會產(chǎn)生半波損失

總光程差 ΔL'

利用幾何關(guān)系式，將含有h的向轉(zhuǎn)化成條紋半徑 r 的項(xiàng)

略去二階小量o(h^2)，可轉(zhuǎn)化 h 為條紋半徑 r

則條紋半徑的表達(dá)式，可得

亮/暗條紋

由此表達(dá)式，可知條紋的分布特性

越往外條紋就越密

在中心部分需要考慮半波損失，因此處于暗條紋

### 條紋分布特性

對于暗條紋的半徑的遞推式

半徑的平方差為差值為恒定值，并由此可得曲率半徑 R

### 不同視角光差牛頓環(huán)的條紋分布

從下方往上方觀察也能看到同心圓分布的干涉條紋，其為從反射光變?yōu)橥干涔?/p>

半波損失：

• 第一次：光路透過圓弧鏡面，經(jīng)過空氣到底座反射，發(fā)生半波損失
• 第二次：光束在底座反射到圓弧鏡面在反射，發(fā)生半波損失

因而總光程 ΔL'不需要考慮半波損失，這透鏡光（當(dāng)前的牛頓干涉仰視）與反射光（牛頓干涉俯視）形成干涉的不同

#### 仰視干涉條紋分布特性

透視（仰視）干涉條紋與反射（俯視）干涉條紋互補(bǔ)

透射的亮暗表達(dá)式與下圖相反

反射的中心為暗點(diǎn)，透射中心為亮點(diǎn)，條紋互補(bǔ)（在反射中的暗條紋，而在透射中就是兩條紋）

## 總結(jié)兩模型（空氣劈、牛頓環(huán)）

關(guān)鍵在于求出光程差，考慮半波損失，然后分析條紋狀況

例如

• 在牛頓環(huán)的波連環(huán)的中間加入不同的介質(zhì)

• 兩個透鏡組成的牛頓環(huán)

近似的問題：能近似的需要考慮近似

注意：光路沒經(jīng)過介質(zhì)截面時都會產(chǎn)生反射和這時，只是此時每次分光都會變?nèi)?，因此在此不考慮多次折射反射的情況

薄膜干涉的等傾斜條紋

# 薄膜干涉

在等厚干涉中，入射角 i 為一個定量

其中 i 為薄膜內(nèi)部的折射角，n為mono內(nèi)部的折射率，厚度 h

考慮在厚度 h 不變的前提下的狀況

• 使用透鏡匯聚平行的反射光

由物象的等光程性，可知在凸透鏡至光屏的光程相等

計算光程差ΔL

等厚干涉一樣

在等傾干涉中

注意：在等傾干涉公式中的 i 為折射角

## 多光路發(fā)生等傾干涉

匯聚到同一光屏上

### 干涉條紋的定性分析（形狀）

光屏的干涉條紋的分布為關(guān)于光源旋轉(zhuǎn)對稱（中心對稱）

可知在光屏上的為同心圓分布

### 干涉條紋的定量分析（條紋半徑）

• 求解干涉條紋的半徑 r_k

可知第 k 級別的半徑 r_k 正比于 第 k 級反射角 i_k

由光程差ΔL'(注意式子中的 i 為介質(zhì)內(nèi)部的折射角而非入射角)

• 亮條紋：

• 暗條紋

半波損失判斷需要根據(jù)折射率判斷

### 干涉條紋間距

利用導(dǎo)數(shù)的定義將其線性化

可得

最終可得

條紋間距的特點(diǎn)：干涉半徑 r_m 逐級遞減

在中心位置的干涉條紋為干涉級數(shù)最高，越邊緣的干涉條紋為越低級的條紋

• 最高級條紋：中心位置

• 最小級（0級條紋）：處于無限遠(yuǎn)處

### 一個問題

既然存在最大級數(shù)的條紋，為什么0級條紋會在無線遠(yuǎn)處？

# 增反/增透

## 透射與反射

透射于反射的干涉

在等傾干涉中的透射反射的干涉

### 例子：透射與反射

在左側(cè)的反射與透射的反射的干涉中

半波損失都發(fā)生，則不計算半波損失在光程差的影響

對于右側(cè)的透鏡于透射的反射的干涉中

存在單個發(fā)生半波損失，因而總光程差ΔL'需要考慮半波損失的影響

兩干涉條紋互補(bǔ)，增反則為

• 反射：亮條紋
• 透射：暗條紋

兩干涉條紋互補(bǔ)，增透則為

• 透射：亮條紋
• 反射：暗條紋

## 增透于增反的關(guān)系

• 增：只是使得透射于反射的分配能耗
• 未改變總能量，未改變能量的分配，僅改變利用能量的多少

### 調(diào)整透射反射的能量分配

• 消反射：使得反射光的能量最小，增加透射光

注意：在攝像機(jī)的鏡頭顯示藍(lán)色，對黃、綠等波長的光波由增透作用，藍(lán)紫光等波長較小的光增反

# 章節(jié)小結(jié)

例題補(bǔ)充2（薄膜干涉）

# 例題1：牛頓環(huán)問題

已知條件如下，求解透射光條紋半徑

## 求解透射光總光程差ΔL‘

### 求出表觀光程差ΔL

### 半波損失

無半波損失

總光程差ΔL'為

## 干涉條紋分析

亮暗干涉條紋表達(dá)式如下

# 例題2：空氣劈的問題

塊規(guī)校準(zhǔn)弓箭的平整度

## 求解高度差值

所求為G1于G2的高度差

思路：求解傾斜角α，則高度差為 lα

求解傾斜角α

可得結(jié)果為

## 干涉條紋間距不一致

說明Δx不一致

則說明表面不平行

## 如何判斷G1與G2的相對高度

在G1與G2的中間按一按，將可得

將會出現(xiàn)兩邊的傾斜角不同，更高的傾斜角將變大，而更矮的傾斜角變小

由下式，可知傾斜角α與條紋間距Δx的關(guān)系

則可知，矮處條紋將變稀疏，高處條紋變密集

# 例題3：干涉的膨脹性問題

測量熱膨脹系數(shù)

## 熱膨脹系數(shù)的定義

## 實(shí)驗(yàn)求解熱膨脹系數(shù)α2

原長 l_0 = 1 cm，溫度變換 ΔT = 100 °C，條紋移動條數(shù) N = 20,波長λ = 589.3 nm，石英環(huán)的熱膨脹系數(shù) α1 = 3.5*10^-7 /K

由空氣劈模型可得

由熱膨脹系數(shù)公式，可得

### 熱膨脹系數(shù)大小判斷

• 若條紋的左移動則說明待測物體的熱膨脹系數(shù)α2 小于 石英環(huán)的熱膨脹系數(shù)α1
• 若條紋的右移動則說明待測物體的熱膨脹系數(shù)α2 大于 石英環(huán)的熱膨脹系數(shù)α1

# 章節(jié)小結(jié)