2023年第四屆華數(shù)杯數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽

資料思路分享Q群：714452621

1 賽題

A 題 隔熱材料的結(jié)構(gòu)優(yōu)化控制研究

新型隔熱材料 A 具有優(yōu)良的隔熱特性，在航天、軍工、石化、建筑、交通等 高科技領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

目前，由單根隔熱材料 A 纖維編織成的織物，其熱導(dǎo)率可以直接測(cè)出；但是 單根隔熱材料 A 纖維的熱導(dǎo)率 (本題實(shí)驗(yàn)環(huán)境下可假定其為定值) ，因其直徑過 小，長(zhǎng)徑比 (長(zhǎng)度與直徑的比值) 較大，無法直接測(cè)量。單根纖維導(dǎo)熱性能是織 物導(dǎo)熱性能的基礎(chǔ)，也是建立基于纖維的各種織物導(dǎo)熱模型的基礎(chǔ)。建立一個(gè)單 根隔熱材料 A 纖維的熱導(dǎo)率與織物整體熱導(dǎo)率的傳熱機(jī)理模型成為研究重點(diǎn)。該 模型不僅能得到單根隔熱材料 A 纖維的熱導(dǎo)率，解決當(dāng)前單根 A 纖維熱導(dǎo)率無 法測(cè)量的技術(shù)難題；而且在建立的單根隔熱材料 A 纖維熱導(dǎo)率與織物熱導(dǎo)率的關(guān) 系模型的基礎(chǔ)上，調(diào)控織物的編織結(jié)構(gòu)，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，能制作出更好的滿足在 航天、軍工、石化、建筑、交通等高科技領(lǐng)域需求的優(yōu)異隔熱性能織物。

織物是由大量單根纖維堆疊交織在一起形成的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，本題只研究平紋織物，如圖 1 和圖 2 所示。不同直徑纖維制成的織物，其基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)參數(shù)不同，即纖 維彎曲角度、織物厚度、經(jīng)密、緯密等不同，從而影響織物的導(dǎo)熱性能。本題， 假設(shè)任意單根 A 纖維的垂直切面為圓形，織物中每根纖維始終為一個(gè)有彎曲的圓 柱。經(jīng)紗、緯紗彎曲角度 10。< e ≤ 26.565。。

熱導(dǎo)率是纖維和織物物理性質(zhì)中最重要的指標(biāo)之一。織物的纖維之間存在空隙，空隙里空氣為靜態(tài)空氣，靜態(tài)空氣熱導(dǎo)率 0.0296 W/(mK) 。計(jì)算織物熱導(dǎo)率 時(shí)既考慮纖維之間的傳熱，也不能忽略空隙中空氣的傳熱。

我們?cè)?25℃實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下，用 Hotdisk 裝置對(duì)織物進(jìn)行加熱和測(cè)量，Hotdisk 恒定功率為 1mW ，作用時(shí)間 1s ，在 0.1s 時(shí)熱流恰好傳遞到織物另一側(cè)。實(shí)驗(yàn)測(cè) 得 0~0.1s 之間織物位于熱源一側(cè)的溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)見附件 1。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，回答下列問題:

問題 1 ：假設(shè)附件 1 的溫度為熱源側(cè)織物的表面溫度，只考慮纖維傳熱和空 隙間的氣體傳熱，建立平紋織物整體熱導(dǎo)率與單根纖維熱導(dǎo)率之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模 型。在附件 2 的實(shí)驗(yàn)樣品參數(shù)條件下，測(cè)得如圖 2 所示的平紋織物的整體熱導(dǎo)率為 0.033W/(mK) ，請(qǐng)根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型計(jì)算出單根 A 纖維的熱導(dǎo)率。

問題 2 ：假設(shè)：1) 制成織物的任意單根 A 纖維的直徑在 0.3 mm~0.6 mm。 2) 織物位于熱源一側(cè)表面溫度隨時(shí)間的變化的數(shù)據(jù)依舊參考附件 1 。3) 由于溫 度和織物結(jié)構(gòu)造成的織物整體密度和比熱的變化可以忽略。請(qǐng)問如何選用單根 A 纖維的直徑及調(diào)整織物的經(jīng)密、緯密、彎曲角度，使得織物的整體熱導(dǎo)率最低。

問題 3 ：如果附件 1 的溫度實(shí)際是熱源側(cè)織物表面空氣的溫度，此時(shí)該側(cè)就 會(huì)發(fā)生對(duì)流換熱，假定織物表面的對(duì)流換熱系數(shù)為 50 W/(m2K)，請(qǐng)重新解答問 題一和問題二。

2 解題思路

2023年第四屆華數(shù)杯數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽

資料思路分享Q群：714452621