????????????????????????第11課????二項式定理初步

一、課程目標(biāo)

????????了解乘方的概念、（a+b）*n（a，b，n均為正整數(shù)）條件下求展開式的項數(shù)、最高次次數(shù)、次數(shù)，并根據(jù)這些概念初步學(xué)會使用自定義積木、利用自定義積木實現(xiàn)簡單的Scratch編程。

二、知識儲備

????????1、將一個數(shù)連續(xù)相乘，這個運算過程就是乘方運算。例如：a×a×a×……×a（10個a）=a^10，讀作：10個a相乘，得到的結(jié)果是a的10次方，其中a是底數(shù)，10是指數(shù)（換字母n表示），得到的結(jié)果叫做冪。

????????2、（a+b）^n叫二項式，求得的結(jié)果的項數(shù)叫二項展開式的項數(shù)，次數(shù)最高的那項系數(shù)叫最高次系數(shù)，該項的指數(shù)就是（a+b）^n的次數(shù)。

三、探究新知

????????1、證明：（a+b）2=a2+2ab+b2。

????????很明顯，這是一個完全平方公式。那它是怎么來的呢？是直接猜出來的嗎？什么問題都不能隨便猜，我們必須心中有思路。它有兩種證明方法：幾何法、代數(shù)法。

????????我們先來看幾何法。我們知道正方形的面積=邊長2，a+b表示a與b的和，那我們就把正方形的每條邊分成邊長為a，b的兩部分。此時正方形被分成2個不等的小正方形和2個長方形，即a2，b2，2個ab，它們均表示每個小圖形的面積。

Sa2+S2ab+Sb2=S正（a+b）。得證（如圖1所示）

? ? ? ? ?我們再來看代數(shù)法：（a+b）2代表2個a+b相乘，即（a+b）（a+b），將左邊的a與b分別與右邊的（a+b）相乘，得a（a+b）+b（a+b），接下來用單項式乘多項式的法則繼續(xù)去算，下一步得到a2+ab+ab+b2，化簡得a2+2ab+b2。得證。

????????2、求（a+b）^n的項數(shù)、最高次系數(shù)、次數(shù)。

????????我們先來看（a+b）^n的項數(shù)。這是一道二項式定理的題目，如果按正規(guī)的方法，套通項公式T（n+1）=C（0，n）a^n+C（1，n）a^（n-1）b+……+C（r，n）a（n-r）+……+C（n，n）b^n（C（b，n）表示從n個不同元素中取出0個組合）分析起來會非常復(fù)雜，編寫Scratch時也很可能無從下手。即便你是高中生，你也有可能會做相關(guān)的題目，但不一定能讓Scratch它程序自己去解。那我們不妨將乘方的概念與多項式乘法的運算法則相結(jié)合來找規(guī)律。

如圖2所示，第一行只有1，到第二行被分成{1，1}兩邊為1，再到第三行時，兩邊為1，中間合成1+1=2，合在一起就是{1，2，1}，到第四行同理兩邊都是1，中間2個都是3，共4個數(shù)：{1，3，3，1}，同理到第五行，兩邊仍為1，再往里是2個4，最中間是第4行中間的2個3相加得6，也就是{1，4，6，4，1}。以此類推，我們發(fā)現(xiàn)，若考慮每行每個數(shù)的位置，都是兩邊為1，中間任何數(shù)都是由上行兩個數(shù)相加得來，最中間的數(shù)最大。另外第幾行就有多少個數(shù)。如果我們用n表示圖中的第幾行（如圖2所示），a+b的展開式表示圖中所有數(shù)的組合。那我們就可以得出：（a+b）^n的項數(shù)為n，最高次系數(shù)為n+1，次數(shù)也是n+1。

????????3、Scratch自定義積木用法簡介：

????????（1）打開軟件，在首項積木欄找到“自制積木”并點擊，此時彈出自制積木代碼區(qū)，再次點擊“制作的積木”（如圖3所示）。

????????（2）接著可以輸入“積木名稱”“增加布爾值”“文本標(biāo)簽（如圖4所示）”。

????????（3）最后點擊完成，就可以在軟件界面上看到自制積木了（如圖5所示）。

?四、變量信息

????????二項式的底數(shù)、二項式的指數(shù)、二項式的結(jié)果、二項式的項數(shù)、二項式的最大項

五、流程圖與代碼

????????如圖6所示：程序開始。建立變量：二項式的系數(shù)、二項式的指數(shù)、二項式的結(jié)果、二項式的項數(shù)、二項式的最大項。并把二項式的底數(shù)、二項式的指數(shù)拖到代碼區(qū)并把積木里面要輸入的內(nèi)容都清空。然后對二項式的底數(shù)、二項式的指數(shù)詢問并回答。在此之前要自制新的積木（名稱見圖7），該積木與自定義積木的每

一項文本詞要一致，也就是下面三步：自制二項式運算積木→輸入向內(nèi)的文本用變量代替→自定義。定義××積木不能套進(jìn)其它任何積木里，∴這兩種積木分開。再下一步將二項式的初始結(jié)果設(shè)為1，∵2^0=1，而乘方是多個數(shù)相乘，∴接下來重復(fù)執(zhí)行指數(shù)次，實現(xiàn)（a+b）^n的結(jié)果后系統(tǒng)求出二項式的最大項、二項式的系數(shù)。下面的代碼也同樣道理：

?????????上面一組：

當(dāng)綠旗被點擊

將二項式的結(jié)果設(shè)為? ??? ??

將二項式的指數(shù)設(shè)為? ??? ??

將二項式的結(jié)果設(shè)為? ??? ??

詢問請輸入二項式的底數(shù)

將二項式的底數(shù)設(shè)為回答

詢問請輸入二項式的指數(shù)

將二項式的指數(shù)設(shè)為回答

二項式運算? [二項式底數(shù)]??（二項式底數(shù)?）?[二項式指數(shù)]（二項式指數(shù)）

?????????下面一組：

定義????? 二項式運算? [二項式底數(shù)]??（二項式底數(shù)?）?[二項式指數(shù)]（二項式指數(shù)）

將二項式的結(jié)果設(shè)為1

重復(fù)執(zhí)行二項式次數(shù)次

將二項式的結(jié)果設(shè)為：二項式的結(jié)果×二項式的結(jié)果

說：“連接連接連接二項式的結(jié)果是和二項式的結(jié)果和二項式的最大項是和二項式的指數(shù)”?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?六、課程最后說? ?

????????1、∵乘方是多個數(shù)連續(xù)相乘，是四則運算的推廣，Scratch里只有四則運算積木，這樣幾次方就要拿出多少個乘法積木連套在一起，里面都輸入相同的數(shù)。萬一數(shù)字很大怎么辦？這就是Scratch煩人的一個地方。

????????2、∵程序是一個整體，∴程序無法實現(xiàn)兩個乘方，∵你前面點擊一個定義之后，系統(tǒng)會實現(xiàn)前一組代碼，即前面第一個乘方，到第二個式子時必然會報錯，∵下面一個式子的乘方與第一組代碼結(jié)構(gòu)一樣，只是變量名不一樣，當(dāng)你點了第二個綠旗后，人家知道你執(zhí)行的結(jié)果是從第一組定義來的還是從第二組定義來的？例如我們能算出22×32=（2×3）2=36，但換成Scratch則會第一步求得4，第二步變成NaN。