終極L

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我

讓我們\三角洲變得超級緊湊。我們關心的基本問題是 中是否存在類超緊L內(nèi)模型。N\子集 V\三角洲氮

當然，答案的形式取決于我們所說的“ L-like”的含義。有幾種可能的方法可以使這變得不平凡。這里，我們只采用非常一般的要求，即\三角洲in的超緊性氮應該“直接追溯到”它的超緊性V。

記起：

我們用{\mathcal P}_\delta(X)來表示集合\{a\subseteq X\mid |a|<\delta\}。

如果我們擁有的話{\數(shù)學U}，打開超濾器（或測量裝置）{\mathcal P}_\delta(\lambda)就可以了。\阿爾法<\拉姆達\{a\in{\mathcal P}_\delta(\lambda)\mid \alpha\in a\}\in{\mathcal U}

超濾器{\數(shù)學U}是正常的當且僅當它是\三角洲- 完全的并且對于所有F:{\mathcal P}_\delta(\lambda)\to\lambda，如果F是回歸{\數(shù)學U}-ae （即，如果\{a\mid F(a)\in a\}\in{\mathcal U}）則F是常數(shù){\數(shù)學U}-ae，即，存在\阿爾法<\拉姆達這樣的\{a\mid F(a)=\alpha\}\in{\mathcal U}。

\三角洲是超緊湊的，當且僅當對 上λ有一個正常的精細測量。{\數(shù)學U}{\mathcal P}_\delta(\lambda)

這是一個\三角洲超緊湊的標準結果，當且僅當存在、和（或等效地，）λ的基本嵌入。j:V\到 M{\rm cp}(j)=\deltaj(\delta)>\lambdaj''\lambda\in M{}^\lambda M\subseteq M

事實上，給定這樣一個嵌入j，我們可以定義一個正常的{\數(shù)學U}罰款{\mathcal P}_\delta(\lambda)

A\in{\數(shù)學 U}當且僅當j''\lambda\in j(A)。

{\數(shù)學U}相反，給定上的正常精細超濾器{\mathcal P}_\delta(\lambda)，由 生成的超功率嵌入{\數(shù)學U}就是此類嵌入的一個示例j。此外，如果{\mathcal U}_j是超濾器 on ，{\mathcal P}_\delta(\lambda)如上所述j，則{\mathcal U}_j={\mathcal U}。

Magidor 發(fā)現(xiàn)了超緊性的另一個特征，它將在這些講座中發(fā)揮關鍵作用；在這個重新表述中，不是臨界點，而是\三角洲所考慮的嵌入的臨界點的圖像。這個版本似乎被理想地設計為用作構建超緊湊性擴展模型的指南，盡管最近的結果表明這實際上是一個轉(zhuǎn)移注意力的事情。

我們將研究的關鍵概念如下：

定義。 N\子集 V是` \三角洲is supercompact'的弱擴展模型，當且僅當對于所有情況\lambda>\delta都存在正常{\數(shù)學U}罰款{\mathcal P}_\delta(\lambda)：

{\mathcal P}_\delta(\lambda)\cap N\in {\mathcal U}， 和

{\mathcal U}\cap N\in N。

這個定義將\三角洲in的超緊性氮直接與 中的超緊性結合起來V。在手稿中，這氮是“超緊湊”的弱擴展模型，\三角洲用 表示o^N_{\rm 長}(\delta)=\infty。請注意，這確實是一個弱概念，因為我們不需要N=L[\vec E]某些（長）\vec E擴展序列。我們的想法是研究氮這個概念的基本屬性，希望更好地理解如何L[\vec E]實際構建這樣的模型。

例如， 的精細度{\數(shù)學U}已經(jīng)意味著滿足覆蓋氮的一個版本：如果和，則存在一個with 。但事實上，覆蓋的一個明顯更強的版本是成立的。為了證明這一點，我們首先需要回憶一下 Solovay 的一個很好的結果，他用它來證明了在超緊湊之上成立。A\子集\lambda|A|<\deltaB\in{\mathcal P}_{\delta}(\lambda)\cap NA\子集B{\sf SCH}

索洛維引理。 保持\lambda>\delta規(guī)律吧。然后有一個集合X，其屬性是該函數(shù)f:a\mapsto\sup(a)在 上單射X，并且對于{\數(shù)學U}上的任何正常精細測度{\mathcal P}_\delta(\lambda)，X\in{\數(shù)學 U}。

從索洛維引理可以得出，任何此類都{\數(shù)學U}等價于序數(shù)的測度。

證明。設\vec S=\left< S_\alpha\mid\alpha<\lambda\right>為 的劃分S^\lambda_\omega為平穩(wěn)集。

（我們也可以使用S^\lambda_{\le\gamma}任何固定的\gamma<\delta?；叵胍幌?/p>

S^\lambda_{\le\gamma}=\{\alpha<\lambda\mid{\rm cf}(\alpha)\le\gamma\}

對于S^\lambda_\gamma=S^\lambda_{=\gamma}和 也類似S^\lambda_{<\gamma}。）

Solovay 的一個眾所周知的結果是這種分區(qū)的存在。

休實際上給出了這個事實的瘋狂證明的快速草圖：否則，嘗試產(chǎn)生這樣的分區(qū)應該會失敗，因此我們可以在 上獲得一個易于定義的完全超 λ濾器。事實上，可定義性確保了矛盾。在第三講中我們將遇到類似的可定義分裂論證。{\數(shù)學V}λ{\mathcal V}\in V^\lambda/{\mathcal V}

讓X包括那些a\in{\mathcal P}_\delta(\lambda)，令β=sup(a)，我們有{\rm cf}(\beta)>\omega，并且

a=\{\alpha<\beta\mid S_\alpha\cap\beta是靜止的\測試版\}.

那么F是 1-1 X，因為根據(jù)定義，任何都可以從和一個\在X中重構。需要爭論的是，對于上的任何正常的精細測量。（這表明要定義-measure 1 集，我們只需要將 劃分為平穩(wěn)集。）\vec S\sup(a)X\in{\數(shù)學 U}{\數(shù)學U}{\mathcal P}_\delta(\lambda){\數(shù)學U}\vec SS^\lambda_\omega

讓j:V\到 M是 由 生成的超冪嵌入{\數(shù)學U}，所以

{\mathcal U}=\{A\in{\mathcal P}_\delta(\lambda)\mid j''\lambda\in j(A)\}。

我們需要驗證一下j''\lambda\in j(X)。首先，請注意j''\lambda\in M。讓\tau=\sup(j''\lambda)，我們就有了M\models{\rm cf}(\tau)=\lambda。自從

M\models j(\lambda)\ge\tau是有規(guī)律的，

由此可見\tau<j(\lambda)。讓\left<T_\beta\mid\beta<j(\lambda)\right>=j(\left<S_\alpha\mid\alpha<\lambda\right>). 在 中中號，T_\beta劃分S^{j(\lambda)}_\omega為平穩(wěn)集。讓

A=\{\beta<\tau\mid M\models T_\beta\cap\tau\mbox{\ 是靜止的}\}。

重點是A=j''\lambda。

為了證明這一點，首先注意{}^\lambda M\subseteq M和j''\拉姆達是 的一個歐米伽-club \tau，因為在點j上連續(xù){\rm cof}(\omega)。因此，對于\alpha<\lambda,我們所擁有的一切j(S_\alpha)\cap\tau\supseteq j''S_\alpha，它j(S_\alpha)在 中是靜止的\tau。因此A\supseteq j''\lambda。

從那時j''\lambda\in M起\{T_{j(\alpha)}\mid\alpha<\lambda\}=\{j(S_\alpha)\mid\alpha<\lambda\}\in M。但是\bigcup\{j(S_\alpha)\colon\alpha<\lambda\}\supseteq j''\lambda\cap{\rm cof}(\omega)，這是一個歐米伽俱樂部。由此可見，沒有其他人T_\beta可以\tau靜止地見面。所以A=j''\lambda，這就完成了證明。\盒子

索洛維引理表明，也許可以L[\vec E]通過在序數(shù)上使用超過濾器來見證超緊性，以比預期更簡單的方式構建超緊性模型。

我們對引理的關鍵應用如下（休指出，在索洛維引理建立后很容易發(fā)現(xiàn)這一點）：

推論。 假設氮“is supercompact”是一個弱擴展模型\三角洲。假設\gamma>\delta是單基數(shù)。然后：

\伽瑪是單數(shù)的氮。

(\gamma^+)^N=\gamma^+。

請注意，第 1 項是直接覆蓋 if 的{\rm cf}(\gamma)<\delta，但否則需要不同的參數(shù)。第 2 項是 的一個非常L類似的屬性氮。目前尚不清楚在何種程度上存在不可忽略的（在某種意義上）基數(shù)類別，可以氮正確計算其共尾性。

證明。這是直接從索洛維引理得出的。1. 和 2. 均來自：

*如果\lambda>\delta是正氮則的話{\rm cf}^V(\lambda)=|\lambda|^V。

(*\右箭頭 1。)如果\gamma>\delta是奇異的，但在 中是規(guī)則的氮，那么{\rm cf}^V(\gamma)=|\gamma|^V，但是這是不可能的，因為\伽瑪是奇異的。

(*\右箭頭 2。)如果\gamma>\delta是單數(shù)，但(\gamma^+)^N<\gamma^+，則{\rm cf}^V((\gamma^+)^N)=|\gamma|^V，與 that 相矛盾\伽瑪也是單數(shù)。

這還有待建立*。為此，我們在 中氮使用 Solovay 引理。

令為和上的{\數(shù)學U}普通精細超濾器。請注意，即使不是 中的基數(shù)，也存在這樣的情況：只需在 中選擇一個較大的常規(guī)基數(shù)，并投影適當?shù)亩攘俊\mathcal P}_\delta(\lambda){\mathcal U}\cap N\in NN\cap{\mathcal P}_\delta(\lambda)\in{\mathcal U}{\數(shù)學U}λVV

根據(jù)索洛維引理，X\in{\mathcal U}\cap N上a\mapsto\sup(a)有 1-1 X。假設{\rm cf}^V(\lambda)<|\lambda|^V. 在 中V，設C\subseteq\lambda為 俱樂部，{}|C|={\rm cf}^V(\lambda)。繼而\{a\in X\mid\sup(a)\in C\}\in{\mathcal U}自\sup(j''\lambda)\in j(C)為j超功率嵌入所誘發(fā){\數(shù)學U}。然而，如果Y=\{a\in X\mid\sup(a)\in C\}，則{}|Y|={\rm cf}^V(\lambda)<|\lambda|^Vwhile \lambda\subseteq\bigcup Y，按精細度。矛盾。\盒子

由此可見，如果\三角洲是超緊的，V并且在強制擴張中，a V-正則在對升力中的\gamma>\delta所有元素進行測量時變成單數(shù)（因此，特別是，在擴張中保留了 的超緊性），則不再是擴張中的基數(shù)。{\mathcal P}_\delta(\lambda)V\三角洲\伽瑪

我們得出一個關鍵概念。假設內(nèi)部模型中號是通用的，當且僅當（足夠）大基數(shù)相對化為中號。推論似乎表明超緊性的弱擴展模型應該是通用的，因此解決超緊性的內(nèi)部模型問題本質(zhì)上解決了所有大基數(shù)的問題。事實上，我們有：

普遍性定理。假設氮“is supercompact”是一個弱擴展模型\三角洲。假設\gamma>\delta,\pi:N\cap V_{\gamma+1}\到 N\cap V_{\pi(\gamma)+1}是初等的，并且{\rm cp}(\pi)\ge\delta. 然后\pi\in N。

我們將在下一講中給出證明。簡而言之：任何與臨界點相一致氮且具有大臨界點的擴展器都在 中氮。要了解為什么這是一個普遍性結果，請注意，例如，如果 中V存在一個適當?shù)膋-huge 基數(shù)類（對于所有k<\omega），則 中 中也存在這樣一個類氮。將此與內(nèi)部模型理論中的傳統(tǒng)情況進行對比，其中大基數(shù)概念的內(nèi)部模型不捕獲任何更大的概念。（類似的結果適用于排名嵌入和更大的排名，盡管這里需要一些額外的想法。）

從某種意義上說，普遍性定理說這氮必須是剛性的。這在字面上并不正確，但在適當?shù)囊饬x上， 不能有升號氮：

推論。 假設氮是“is supercompact”的擴展模型\三角洲。然后就沒有j:N\到 N了{\rm cp}(j)\ge\delta。

證明。否則，根據(jù)普遍性定理，j服從。氮但這樣一來N\模型\存在 i:N\to N，就與庫南定理相矛盾了。\盒子

（這是另一個繼承K的類似功能氮。）請注意對 的限制{\rm cp}(j)\ge\delta。這是無法刪除的：

例子。假設\三角洲是超緊且\delta_0<\delta可測的。令{\數(shù)學U}為 的正常測量\delta_0，令M_\歐米茄為歐米伽超冪嵌入的第 次迭代j:V\to M_0\cong V^{\delta_0}/{\mathcal U}。然后：

M_\歐米茄\三角洲是“ is supercompact”的弱擴展模型。

j(M_\omega)=M_\omega{\rm cp}(j)\ge\delta，所以我們不能在推論中刪除“ ”。

讓N=M_\omega[\left<\delta_i\mid i<\omega\right>]where\left<\delta_i\mid i<\omega\right>是關鍵序列（\delta_{i+1}=j(\delta_i)對于所有人我）。那么 的第-th 次迭代在N=\bigcap_i M_i哪里。接下來是在-sequences下關閉的。由于是小強迫（Prikry 強迫）的強迫擴展，因此也是“超緊”的弱擴展模型，并且也很明顯。因此，即使我們需要某種形式的強閉包，“ ”也不能從推論中刪除。米我我j氮\delta_0氮M_\歐米茄氮\三角洲j(N)=N{\rm cp}(j)\ge\delta氮

我們現(xiàn)在可以陳述一個關鍵的二分結果，其證明將在第三講中進行。

定義。 \三角洲是可擴展的，如果對于所有\(zhòng)α存在j:V_{\delta+\alpha+1}\到 V_{j(\delta)+j(\alpha)+1}和。{\rm cp}(j)=\deltaj(\delta)>\alpha

引理。 假設\三角洲是可擴展的。以下是等效的：

{\sf HOD}\三角洲是“ is supercompact”的弱擴展模型。

存在不可測量\gamma>\delta的正則。{\sf HOD}

有\(zhòng)gamma>\delta這樣一個(\gamma^+)^{\sf HOD}=\gamma^+。

請注意，這確實是一個二分結果：在存在可擴展基數(shù)的情況下，要么{\sf HOD}非常接近V，要么非常遠。

推測。如果\三角洲是可擴展的，則{\sf HOD}是“是超緊湊”的擴展模型\三角洲。

讓我們簡要描述一下二分引理的證明。請注意，我們已經(jīng)有了第 2. 和 3. 項，它們都來自 1. 為了證明(2.\右箭頭 1。)，給定\伽瑪，我們考慮歐米伽上的 -club 過濾器\伽瑪，并嘗試將 中的靜態(tài)集{\sf HOD}分成。如果失敗，我們將得到可衡量的結果。假設 2.，這意味著我們成功了，我們將使用平穩(wěn)集來驗證 上的正常精細測量是否被吸收到 中。那么可擴展性將為我們提供一個適當?shù)念?，?1 項如下。S^\gamma_\omegaV\伽瑪{\sf HOD}{\mathcal P}_\delta(\lambda){\sf HOD}\伽瑪

普遍性定理。 如果氮是 的弱擴展模型\mbox{`}\delta是超緊'，并且\pi:N\cap V_{\gamma+1}\到 N\cap V_{\pi(\gamma)+1}是基本的{\rm cp}(\pi)\ge\delta，則\pi\in N。

如前所述，這使我們氮從 中吸收了大量的力量V。例如：

引理。 假設它\kappa是 2-巨大。然后，對于每個A\subseteq V_\kappa, (V_\kappa,\in,A)\模型都有一個由一致的嵌入見證的適當類別的巨大基數(shù)A。\盒子

因此，如果A=N\cap V_\kappa和\kappa>\delta，那么

N\cap V_\kappa\模型有一個適當?shù)拇蠹t衣主教類別。

在這里，連貫性的含義如下：當且僅當，讓，我們有和時，j:V\到 M連貫一個集合A。事實上，我們需要的要少得多。我們需要像和 一樣的東西，對于巨大來說，已經(jīng)足夠了。\gamma={\rm cp}(j)V_{j(j(\gamma))+\omega}\subseteq Mj(A)\cap V_{j(j(\gamma))+\omega}=A\cap V_{j(j(\gamma))+\omega}j''j(\gamma)\in MV_{j(j(\gamma))+1}\subseteq M

這種方法打破了過去的歐米伽巨大性。然后我們需要改變連貫性的概念，因為（例如，以 開頭j:L(V_\lambda)\到 L(V_\lambda)）“擁有”\pi:N\cap V_{\lambda+1}\到 N\cap V_{\pi(\lambda)+1}不再是一個合理的條件。但適當?shù)男薷脑谶@個非常高的水平上仍然有效。

普遍性定理的證明建立在擴展器方面對超緊性的重新表述之上，歸因于 Magidor：

定理（馬吉多爾）。 以下是等效的：

\三角洲是超緊湊的。

對于 all\gamma>\delta和 all a\in V_\gamma，存在\bar\delta<\bar\gamma<\delta和\bar a\in V_{\bar\gamma}，以及一個基本的\pi:V_{\bar\gamma+1}\到 V_{\gamma+1}使得：

\bar\delta={\rm cp}(\pi)和\pi(\bar\delta)=\delta。

\pi(\bar\gamma)=\gamma和\pi(\bar a)=a。

這個證明實際上是一個簡單的反思論證。

證明。 (1.\右箭頭 2.)假設第 2. 項失敗，正如 所見證的那樣\gamma,a。{\數(shù)學U}在{\mathcal P}_\delta(\lambda)哪里選擇正常罰款\lambda=|V_{\gamma+1}|，并考慮

j:V\to M\cong V^{{\mathcal P}_\delta(\lambda)}/{\mathcal U}。

然后{\rm cp}(j)=\delta、j(\delta)>\lambda、 和{}^\lambda M\subseteq M。但是{}^{V_{\gamma+1}}M\subseteq M，從基本角度來看， 和j(\gamma),j(a)是中號關于 的第 2. 項的反例j(\delta)。然而，j\upharpoonright V_{\gamma+1}\in M，它見證了中號關于j(\gamma),j(a)的第 2 項j(\delta)。矛盾。

(2.\右箭頭 1。)假設第 2 項。對于任何一項，我們需要在 上\lambda>\delta找到正常罰款。修復，并讓和。設為第 2 項中的嵌入。用于定義正常罰款{\數(shù)學U}{\mathcal P}_\delta(\lambda)λ\gamma=\lambda+\omegaa=\lambda\pi:V_{\bar\gamma+1}\到 V_{\gamma+1}\gamma,a\pi\bar{\數(shù)學U}{\mathcal P}_{\bar\delta}(\bar\lambda)

A\in\bar{\mathcal U}當且僅當\pi''\bar\lambda\in\pi(A)。

請注意\pi''\bar\lambda\in V_{\lambda+1}\in V_{\gamma+1}，所以這個定義是有道理的。進一步，{\mathcal P}({\mathcal P}_{\bar\delta}(\bar\lambda))\in V_{\bar\lambda+2}\in V_{\bar\delta+1}，所以\bar{\mathcal U}\in V_{\bar\gamma+1}。因此，\bar{\數(shù)學U}是 在 的范圍內(nèi)\pi，并且\pi(\bar{\mathcal U})={\mathcal U}是所需要的。\盒子

正如上一講中提到的，人們一度預計 Magidor 的重新表述將成為構建超緊內(nèi)部模型的關鍵，因為它表明需要將哪些擴展器放入其序列中。最近的結果表明，施工應該直接使用源自正常精細措施的擴展器進行。然而，Magidor 的重新表述對于弱擴展模型理論非常有用，這要歸功于以下事實，這可以被視為對這種重新表述的加強：

引理。假設氮“is supercompact”是一個弱擴展模型\三角洲。假設\gamma>\delta和a\in V_\gamma。然后有\(zhòng)bar\delta、\bara、\bar\gamma和V_{\delta}一個初等\pi:V_{\bar\gamma+1}\到 V_{\gamma+1}：

{\rm cp}(\pi)=\bar\delta、\pi(\bar\delta)=\delta、\pi(\bar\gamma)=\gamma、 和\pi(\bar a)=a。

\pi(N\cap V_{\bar\gamma})=N\cap V_\gamma。

\pi\upharpoonright(N\cap V_{\bar\gamma+1})\in N。

同樣，證明是馬吉多定理中的反射論證，但我們需要更加努力地確保第 2 條和第 3 條。關鍵是：

宣稱。 假設\lambda>\delta. 然后是正常的{\數(shù)學U}罰款{\mathcal P}_\delta(V_\lambda)

\{x\in{\mathcal P}_\delta(V_\lambda)\mid的傳遞崩潰X\大寫N? 是N\cap V_{\bar\lambda}，\bar\lambda的傳遞崩潰在哪里X\cap\lambda\}\in{\mathcal U}。

證明。我們可以假設{}|V_\lambda|=\lambda和 這也適用于氮。在 中，在和之間氮選擇一個雙射，然后用和求。\rhoλN\cap V_\lambda{\mathcal U}^*{\mathcal P}_\delta(\lambda){\mathcal U}^*\cap N\in N{\mathcal P}_\delta(\lambda)\cap N\in{\mathcal U}^*

檢查一下就足夠了

(*) \{X\subseteq\lambda\mid的傳遞崩潰\rho[X]是 的一個等級初始段N\}\in{\mathcal U}^*。

一旦我們有了(*)，就可以很容易地使用λ和之間的雙射V_\lambda來獲得所需的度量{\數(shù)學U}。

為了證明(*)，在 中工作氮，并注意結果現(xiàn)在是微不足道的，因為，讓為由toj的限制引起的超冪嵌入，我們有折疊到，這是 的初始部分。{\mathcal U}^*氮j''V_\lambdaV_\lambdaV\盒子

引理的證明?，F(xiàn)在的論證是使用剛剛建立的斷言對馬吉多定理證明的直接闡述。(1.\右箭頭2.)即，在定理的證明中，使用{\數(shù)學U}權利要求中的超濾器。V_{\伽瑪+1}我們需要看到超冪嵌入（的限制）j滿足j(N\cap V_{\bar\gamma})=N\cap V_\gamma。我們從比這樣λ大得多的開始，并修復這樣的集合，以及一個雙射，這樣的雙射是和之間的雙射。\伽瑪\lambda=|V_\lambda|A,B\in N\cap{\mathcal P}(\lambda)|A|=|B|=\lambda\rho:\lambda\ 到 V_\lambda\rho\upharpoonright AAN\cap V_\lambda\rho\upharpoonright A\in N

我們用來\rho轉(zhuǎn)移到專注于的{\數(shù)學U}措施?，F(xiàn)在讓我們成為超能力嵌入。我們需要檢查一下。問題是，原則上，可能會溢出并且規(guī)模更大。然而，由于集中于，這是不可能的，因為傳遞折疊在 、 和 中以相同的方式計算，盡管可能與 不同。{\mathcal U}^*{\mathcal P}_\delta(A)氮j:V\to M\cong V^{{\mathcal P}_\delta(A)}/{\mathcal U}^*j(N)\cap V_\lambda=N\cap V_\lambdaj(N)\cap V_\lambda{\mathcal U}^*氮中號氮V(N^{{\mathcal P}_\delta(A)}/{\mathcal U}^*)^N(N^{{\mathcal P}_\delta(A)}/{\mathcal U}^*)^V\盒子

我們已經(jīng)準備好了本次講座的主要結果。

普遍性定理的證明。我們實際上將為所有紅衣主教證明這一點\gamma>\delta，如果

\pi:(H(\gamma^+))^N\to(H(\pi(\gamma)^+))^N

是初等的，并且{\rm cp}(\pi)\ge\delta，然后\pi\in N.

這通過一些編碼給出了如上所述的結果。

選擇λ遠大于\伽瑪和 讓a=(\pi,\gamma)。應用強化的 Magidor 重構，獲得\bar a=(\bar\pi,\bar\gamma)、\bar\lambda、 、\bar\delta和 嵌入

\sigma:V_{\bar\lambda+1}\到 V_{\lambda+1}

與{\rm cp}(\sigma)=\bar\delta、\sigma(\bar\delta)=\delta、\sigma(\bar\pi)=\pi、 和\sigma(\bar\gamma)=\gamma。

請注意\bar\pi: H(\bar\gamma^+)^N\to H(\bar \pi(\bar \gamma)^+)^N。

足以證明\bar\pi\in N、自從\sigma\upharpoonright (V_{\bar\lambda+1}\cap N)\in N、等等\pi=\sigma(\bar\pi)\in N。

為此，我們實際上只需要證明，因為的\bar\pi\upharpoonright({\mathcal P}(\bar\gamma)\cap N)\in N片段完全確定。當然，優(yōu)點是更容易分析序數(shù)集。\pi\upharpoonright({\mathcal P}(\gamma)\cap N)\pi\pi

讓a\subseteq\bar\gamma與一個 \in N，讓\alpha\in\pi(\bar\gamma)。我們需要計算氮是否\alpha\in\bar\pi(a)。為此，請注意

\alpha\in\bar\pi(a)當且僅當\sigma(\alpha)\in\sigma(\bar\pi(a))。

現(xiàn)在，\sigma(\bar\pi)=\pi，因此這簡化為\sigma(\alpha)\in\pi(\sigma(a))，即計算\pi，只需知道\pi\upharpoonright{\rm 跑}(\sigma)。

回想一下\sigma\upharpoonright N\cap V_{\bar\lambda+1}\in N，并考慮一下\sigma_0=\sigma\upharpoonright H(\bar\gamma^+)^N。請注意\sigma_0\in H(\gamma^+)^N， 和\sigma_0:H(\bar\gamma^+)^N\到 H(\gamma^+)^N。應用于\pi，\sigma_0并使用基本原理，我們有

\pi(\sigma_0):\pi(H(\bar\gamma^+)^N)\to\pi(H(\gamma^+)^N)。

但\pi(H(\bar\gamma^+)^N)=H(\bar\gamma^+)^N,因為{\rm cp}(\pi)\ge\delta，同時\pi(H(\gamma^+)^N)=H(\pi(\gamma)^+)^N。

由此可見\pi(\sigma(a))=\pi(\sigma_0)(\pi(a))=\pi(\sigma_0)(a)。由于\sigma_0\in {\rm dom}(\pi)，我們已經(jīng)\pi(\sigma_0)\in N（只需記下 的范圍\pi），我們就完成了，因為我們已經(jīng)將是否的問題簡化\alpha\in\bar \pi(a)為是否 的問題\sigma(\alpha)\in\pi(\sigma_0)(a)，從而氮可以確定。\盒子

L[\vec E]請注意普遍性定理如何表明使用 Magidor 重構模型構建超緊模型會遇到困難；也就是說，如果\三角洲是超緊湊的，我們有許多F具有臨界點 的擴展器，\kappa_F<\delta并且\pi_F(\kappa_F)=\delta我們現(xiàn)在正在生產(chǎn)上面的新擴展器\三角洲，這也應該以某種方式計入 中\(zhòng)vec E。

{\sf HOD}普適性的一個很好的應用是上一講末尾提到的二分定理。如果{\sf HOD}是超緊性的弱擴展模型，我們得到以下結果：

推論。 不存在{\sf HOD}\to_{j_0}{\sf HOD}\to_{j_1}{\sf HOD}\to_{j_2}\點具有有充分依據(jù)的限制的（非平凡）基本嵌入序列。\盒子

由此可見，存在一個\西格瑪_2可定義的序數(shù)，使得固定該序數(shù)的任何嵌入都是恒等！這是因為序數(shù)的- 理論在哪里{\sf HOD}=L[T]。時間\西格瑪_2V

特別是，沒有j:({\sf HOD},T)\to({\sf HOD},T). {\sf HOD}請注意，如果用任意弱擴展模型替換，則推論和該事實將失敗。

j:{\sf HOD}\至{\sf HOD}在某種意義上是否真的可以存在嵌入的問題仍然懸而未決，即，其一致性目前僅根據(jù){\sf ZF}存在非常強版本的萊因哈特基數(shù)的假設來建立，即嵌入的強版本j:V\到 V，其一致性本身就有問題。

（另一方面，Hugh 已經(jīng)證明不存在嵌入j:V\to{\sf HOD}，這可以通過 Hugh 對 Kunen 定理的證明的一個簡單變體來建立，例如在 Kanamori 的書（定理 23.12 的第二個證明）中提出的。）

定理。 假設氮“is supercompact”是一個弱擴展模型\三角洲。如果\pi:H(\gamma^+)^N\到 H(\pi(\gamma)^+)^N是初等的，與{\rm cp}(\pi)\ge\delta和\gamma>\delta，則\pi\in N。

更一般的版本成立，甚至可以直接從上一講的論證中獲得。

例如，假設它\三角洲是超緊湊的并且\kappa>\delta非常難以訪問。讓{\數(shù)學U}是一個正常的精細測量{\mathcal P}_{\delta}(\kappa)，讓A\in{\數(shù)學 U}并考慮N=L[A,{\mathcal U}]\cap V_\kappa。然后，在 中V_\kappa，氮是“is supercompact”的弱擴展模型\三角洲。這種結構通常會“反轉(zhuǎn)”人們以前可能做過的所有強制結構，同時基本上吸收了 中的所有大基數(shù)V_\kappa。福爾曼對這種結構進行了一些詳細的研究。

問題。 讓其\三角洲具有可擴展性。是{\sf HOD}“超緊湊”的弱擴展模型嗎\三角洲？

推測。情況確實如此。

為了激發(fā)這一猜想，我們認為反駁它必須使用與我們目前掌握的技術完全不同的技術。（一個密切相關的事實是，如果\三角洲是可擴展的，那么它是{\sf HOD}-supercompact （即，對于所有都λ存在嵌入的λ-supercompactness ）。Sargsyan 已經(jīng)驗證在這種情況下不能用 supercompact 替換可擴展。）j:V\到 Mj({\sf HOD}\cap V_\lambda)={\sf HOD}\cap V_\lambda

引理。假設有一個伍丁紅衣主教的真類，并且每組{\sf 外徑}都是A\subseteq {\mathbb R}普遍的貝爾。那么\歐米茄-猜想成立{\sf HOD}。 \盒子

這可以被視為該猜想的證據(jù)，因為該\歐米茄猜想在所有已知的擴展器模型中都成立。此外，引理證明，如果猜想成立，那么大基數(shù)就不能反駁 猜想\歐米茄。

定義。 假設\伽瑪>\歐米伽是有規(guī)律的。說在\伽瑪 i中是歐米伽-強烈可測量的{\sf HOD}ff 存在\lambda<\伽瑪，(2^\lambda)^{\sf HOD}<\gamma其中 沒有 劃分\left<S_\alpha\mid\alpha<\lambda\right>\in{\sf HOD}為(S^\gamma_\omega)^V中靜止的集合V。

歐米伽在 中 強可測量是對{\sf HOD}的強烈要求\伽瑪：在這種情況下，我們可以執(zhí)行以下過程：從 開始S=(S^\gamma_\omega)^V。在 中{\sf HOD}，構造一個分裂二叉樹，S如下所示： 分裂S成兩個V平穩(wěn)集，{\sf HOD}如果可能的話，都在 中。然后，考慮這兩個集合，如果可能，將每個V集合分成 中的兩個平穩(wěn)集合{\sf HOD}，并繼續(xù)這種方式，{\sf HOD}在極限階段沿分支 (in ) 求交集。請注意，即使它指的是真正的平穩(wěn)性，該構造也是 in {\sf HOD}，因為這可以{\sf HOD}通過在每個階段引用-club 子集{\sf OD}_A的 -filter中的成員資格來表示（對于歐米伽A\子集 SA我們試圖在構造中的給定點分割平穩(wěn)集）。

假設施工λ分階段進行。由于(2^\lambda)^{\sf HOD}<\gamma，施工不可能停止，因為在極限階段我們沒有看到足夠的分支。因此，我們必須停在后繼階段，并且這必須沿著樹的每條路徑發(fā)生。因此，我們分成S^\gamma_\omega了少量的固定集，所有這些固定集都帶有 ，{\sf HOD}， ，\伽瑪完全超濾器（即 -club 過濾器的限制歐米伽）。\伽瑪這是見證 的可測量性的一種非常有力的方式{\sf HOD}，并且很難通過強制來模擬這個結果。

{\sf HOD}-推測。存在一類適當?shù)幕鶖?shù)\伽瑪，它們在 中是正則的V，并且在 中不是 歐米伽強可測的{\sf HOD}。

這是一個非常合理的猜想：

目前尚不清楚是否可以有超過 3 個基數(shù)歐米伽在 中是強可測的{\sf HOD}。

目前尚不清楚不可數(shù)共尾性的單數(shù)后繼者是否可以歐米伽在 中強可測{\sf HOD}。

目前尚不清楚超緊之上是否存在任何歐米伽在 中強可測的基數(shù){\sf HOD}。

最重要的信息是，超緊之上的無限組合學是困難的，因為超緊性極其脆弱。

定理。 假設它\三角洲是可擴展的。那么以下是等價的：

{\sf HOD}\三角洲是“ is supercompact”的弱擴展模型。

有一些在 中\(zhòng)gamma>\delta是不可強烈測量的。歐米伽{\sf HOD}

因此，如果第 2 項失敗，則每個正則都\gamma>\delta可以在 中測量{\sf HOD}，特別(\lambda^+)^{\sf HOD}<\lambda^+是對于任何\lambda\ge\delta。

如前所述，第2項失敗有一種情況：如果有非常強大的萊因哈特紅雀版本，則可以強制結束{\sf ZF}。V但這確實應該被理解為反駁萊因哈特基數(shù)存在的場景{\sf ZF}，至少在存在額外的強大基數(shù)假設的情況下。

證明。 (1.\右箭頭2.)我們已經(jīng)知道這一點，因為在第一講的推論中，我們看到第 1 項意味著{\sf HOD}正確地計算了一些后繼。

(2.\右箭頭1。)這里我們需要使用可擴展性。讓我們\gamma_0成為主要見證項目2。

宣稱。 對于所有的，\alpha>\delta都有一個\伽瑪>\阿爾法和 的一個劃分\vec T=\left<T_\eta\mid\eta<\alpha\right>\in {\sf HOD}為S^\gamma_\alpha固定集。

證明。修復\α。請注意，對于所有的情況，都有\(zhòng)lambda<\delta一個劃分{\sf HOD}為許多固定集。由于是可擴展的，我們可以找到一個嵌入S^{\gamma_0}_\omegaλ\三角洲

\pi:V_{\delta+\theta+1}\到 V_{\pi(\delta)+\pi(\theta)+1}遠大于、、和（例如θ，我們可以選擇）。\α{\rm cp}(\pi)=\delta\pi(\delta)>\alpha{\sf HOD}^{V_\theta}={\sf HOD}\cap V_\thetaθV_\theta\prec_{\Sigma_3}V

自從

V_\theta\models\gamma_0不是歐米伽- 強可測量的{\sf HOD}，

然后

V_{\pi(\theta)}\models\pi(\gamma_0)在 中不是歐米伽-強可測量的\pi({\sf HOD})。

但是\pi({\sf HOD}^{V_{\theta}})=\pi({\sf HOD}\cap V_\theta)=\pi({\sf HOD})\cap V_{\pi(\ θ)}={\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}和{\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}\subseteq{\sf HOD}\cap V_{\pi(\theta)}。

這給了我們想要的結果。\盒子

修復θ>δ與V_\theta\prec_{\Sigma_{10000}}V. 然后{\sf HOD}^{V_\theta}={\sf HOD}\cap V_\theta。選擇一個基本\pi:V_\theta\到 V_{\pi(\theta)}的{\rm cp}(\pi)=\delta, \pi(\delta)>\theta。請注意\pi({\sf HOD}\cap V_\theta)={\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}。

宣稱。 對于所有人來說\lambda<\theta，\pi''\lambda\in {\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}.

\lambda<\theta因為對于我們所擁有的一切\(zhòng)pi''{\sf HOD}\cap V_\lambda\in{\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}，可以得出以下結論：V_\theta\models{\sf HOD}“是超緊湊”的弱擴展模型\三角洲。

證明。類似于第一講中索洛維引理的證明。修復λ并選擇一個正則\gamma>\lambda，\伽馬<\θ并將 劃分\left<T_\beta\mid\beta<\lambda\right>\in{\sf HOD}^{V_\theta}為S^\gamma_\omega平穩(wěn)集。

讓\gamma^*=\sup\pi''\gamma，并注意\gamma^*<\pi(\gamma)，因為后者是正則的。讓\vec E=\left<E_\beta\mid\beta<\pi(\lambda)\right>=\pi\left<T_\beta\mid\beta<\lambda\right>并注意 和\vec E\in{\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}是\vec E的劃分S^{\pi(\gamma)}_\omega為平穩(wěn)集。

設\sigma=\{\eta<\gamma^*\mid E_\eta\cap\gamma^*是靜止的\伽瑪^*\}，并注意\sigma\in {\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}。

我們現(xiàn)在可以論證這一點，\sigma=\pi''\lambda就像索洛維引理的證明一樣。\盒子

因為\pi''{\sf HOD}\cap V_\lambda\in {\sf HOD}^{V_{\pi(\theta)}}對于所有的情況\lambda<\theta，如果我們設為 的{\mathcal U}_\lambda測量值，我們就可以集中于，并且它的限制為。{\mathcal P}_\delta(\lambda)\pi{\mathcal U}_\lambda{\sf HOD}{\sf HOD}{\sf HOD}

這證明了V_\theta\models{\sf HOD}“is supercompact”的弱擴展模型\三角洲。但我們就基本完成了。\盒子

讓我們以 Hugh 關于如何構建擴展模型的一些一般性和清醒的評論作為結束。這些粗略模型使用擴展器V（如弱擴展器模型的要求），并且通常它們的分析建議如何繼續(xù)進行其精細結構對應物。

當考慮超緊湊性的粗略版本時，如前所述，馬吉多爾的重新表述非常適合構建模型，這就是“合適的擴展序列”手稿的原始方法。最近的結果表明，這些模型與過去的超強模型的比較失敗，事實上，所有這些模型都V可以編碼到這些模型中。這是精細結構版本的嚴重障礙。

目前的結果表明，即使修改這種方法并直接使用序列中的一些擴展器來編碼超緊性（根據(jù)索洛瓦引理，這是可能的），圍繞 -超緊性的比較也應該失敗\kappa^{++}。這提出了兩種情況，都不是特別吸引人：要么可迭代性（用非?；\統(tǒng)的術語來說）失敗，這將迫使我們在解決超緊性的內(nèi)部模型程序之前完全改變精細結構理論的性質(zhì)，要么構建模型很快就會崩潰，因此需要一種尚未預見的不同方法。