設:有一頂點為A的圓錐，圓BC為其底面圓，過其軸的平面截得軸三角形ABC(I.3證明)，同時有另一個平面，該平面與底面交線為BC，且BC⊥DE，與圓錐面的交線為截線DFE，F(xiàn)為截線的頂點，G為DE與BC交點，連接FG易得FG為此圓錐截線的直徑(I.7 and 定義4證明)。 此時，二面角F-DE-B的平面角＞∠ACB，所以延長FG與AC，最終會于圓錐上方相交于H點，再過點A作AK∥FG，且AK交BC于K，最后過F點作FL⊥FG且使得AK2/BK·KC=FH/FL成立 又過點N作直線RNS∥BC，作直線NO∥FL，連接HL并延長至與NO交于X，最后過L和X作LO與XP，使得LO與XP∥FG 首先與I.11的初步證明步驟同理，易得RMS三點在以RS為直徑的圓上，且因為RS⊥MN，所以容易推出MN2=RN·NS 已知FH/FL=AK2/BK·KC=AK/BK comp. AK/KC，且因為易得△AKC∽△HNS 所以AK/KC=HN/NS 同理因為易得△AKB∽△FNR 所以AK/KB=FN/NR 將得到的關系代入已知，于是 FH/FL=FN/NR comp. HN/NS=FN·HN/NR·NS 又因為易證△HLF∽△HXN 所以HF/FL=HN/XN，且容易得到HN·FN/XN·FN=HN/XN，將這一關系代入FH/FL=FN/NR comp. HN/NS=FN·HN/NR·NS 最終得到HN·FN/XN·FN=HN·FN/NR·SN 化簡得XN·FN=NR·SN 又因為已在圓RMS內(nèi)證出MN2=NR·SN 等量代換得MN2=XN·FN 對于最后這個式子，不難發(fā)現(xiàn)MN就是縱線，F(xiàn)N就是橫線，而XN則是通過f(p)得到(p=FL)，且易知XN-FL=XO=t(t>0)，又根據(jù)相似(△LOX∽△HLF)，可以得到t/p=x/HF，這里的HF被稱為橫截邊，令HF=2a，得到t=px/2a 代入后得到y(tǒng)2=(p+px/2a)x 最終我們就可以將它寫成y2=px+px2/2a 由于對于最后的結果，我們得到的等式中乘以橫線的XN>p=FL，也就是說最后得到的因子比豎直邊大，畫出來比豎直邊長，阿波羅尼斯便將這樣的圓錐截線命名為超曲線。 下面附圖是書中對于超曲線命名緣由的解釋，與我的解釋類似。