六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三單元（圓柱與圓錐）知識(shí)點(diǎn)

【圓柱】

圓柱的形成：圓柱是以長(zhǎng)方形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而得到的；圓柱也可以由長(zhǎng)方形卷曲而得到。

一、圓柱：圓柱由3個(gè)面圍成。?

（1）底面：圓柱的上、下兩個(gè)面；

（2）側(cè)面：圓柱周圍的面（上下底面除外）；

（3）高：圓柱的兩個(gè)底面之間的距離。

二、圓柱的特征：

（1）底面的特征：圓柱的底面是完全相等的兩個(gè)圓。

（2）側(cè)面的特征：圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面。

（3）高的特征：圓柱有無(wú)數(shù)條高。

圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖： 沿著高展開(kāi),展開(kāi)圖形是長(zhǎng)方形。

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱底面的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高，

長(zhǎng)方形的面積等于（圓柱的側(cè)面積），因?yàn)殚L(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，所以圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高

圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面積=底面的周長(zhǎng)×高，

用字母表示為：S側(cè)=Ch? ? ?h=S側(cè)÷C? ? ? C= S側(cè)÷h

S側(cè)=∏dh=2∏rh

注：（1）當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)和高相等時(shí)，沿高展開(kāi)圖是正方形；

（2）不沿著高展開(kāi)，展開(kāi)圖形是平行四邊形或不規(guī)則圖形。

（3） 無(wú)論如何展開(kāi)都得不到梯形.

四、圓柱的表面積：

圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2。

即S表= S側(cè)+ S底×2=2∏rh+∏r2×2

【解題方法】

一.圓柱的切割：

1.橫切：切面是圓，表面積增加2倍底面積，即S增=2πr2

2.豎切（過(guò)直徑）：切面是長(zhǎng)方形（如果h=2R，切面為正方形），該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的高，寬是圓柱的底面直徑，表面積增加兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即S增=4rh

二、常見(jiàn)的圓柱解決問(wèn)題:

側(cè)面積+兩個(gè)底面積：油桶、米桶、罐桶類

側(cè)面積+一個(gè)底面積：玻璃杯、水桶、筆筒、帽子、游泳池

只求側(cè)面積：煙囪、燈罩、排水管、漆柱、通風(fēng)管、壓路機(jī)、衛(wèi)生紙中軸、薯片盒包裝

底面周長(zhǎng)：壓路機(jī)壓過(guò)路面長(zhǎng)度

五、圓柱的體積：圓柱所占空間的大小，叫做這個(gè)圓柱體的體積。

圓柱切拼成近似的長(zhǎng)方體，分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長(zhǎng)方體。

長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高。長(zhǎng)方體的體積=底面積×高

圓柱體積=底面積×高? ? ?

V柱＝S h =πr2 h

h =V柱÷S=V柱÷(πr2)

? ? ? ?S=V柱÷h

注：把一個(gè)圓柱體切分成若干份拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，在這個(gè)過(guò)程中，形狀發(fā)生了變化，體積沒(méi)有發(fā)生變化。表面積增加了2rh.

【圓錐】

圓錐的形成：圓錐是以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而得到的。圓錐也可以由扇形卷曲而得到。

一、圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。

二、圓錐各部分的名稱：

圓錐只有一個(gè)底面，底面是個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面，把圓錐的側(cè)面展開(kāi)得到一個(gè)扇形。

圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。（只有一條）

測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。

三、圓錐的特征：

（1）底面的特征：圓錐的底面一個(gè)圓。

（2）側(cè)面的特征：圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面。

（3）高的特征：圓錐有一條高。

四、圓錐的體積：

圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的三分之一

V錐=×底面積×高 ＝S h? ＝πr2 h?

圓錐的高=圓錐體積×3÷底面積? ??

? ? ?h =3 V錐÷S=3 V錐÷(πr2)

圓錐的底面積=圓錐體積×3÷高? ? ? ??

?S=3 V錐÷h

五、圓柱與圓錐的關(guān)系：

1．圓柱的特征：一個(gè)側(cè)面、兩個(gè)底面、無(wú)數(shù)條高且側(cè)面沿高展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形。

2．圓錐的特征：一個(gè)側(cè)面、一個(gè)底面、一個(gè)頂點(diǎn)、一條高且側(cè)面展開(kāi)圖是扇形。

3.圓柱與圓錐等底等高，圓柱的體積是圓錐的3倍。

4.圓柱與圓錐等底等體積，圓錐的高是圓柱高的3倍。

5.圓柱與圓錐等高等體積，圓錐的底面積（注意：是底面積而不是底面半徑）是圓柱的3倍。

6.圓柱體積比等底等高圓錐體積多2倍

7.圓錐體積比等底等高圓柱體積少

（1）等底等高：V錐:V柱＝1:3?

（2）等底等體積：h錐:h柱＝3:1?

（3）等高等體積：S錐:S柱＝3:1

【解題方法】

一.圓錐的切割：

a.橫切：切面是圓

b.豎切（過(guò)頂點(diǎn)和直徑）：切面是等腰三角形，該等腰三角形的高是圓錐的高，底是圓錐的底面直徑，表面積增加兩個(gè)等腰三角形的面積，即S增=2Rh

二、題型總結(jié)：

1、高不變半徑擴(kuò)大縮小n倍，直徑、底面周長(zhǎng)、側(cè)面積擴(kuò)大縮小n倍，底面積、體積擴(kuò)大縮小n2倍。

2、半徑不變高擴(kuò)大縮小n倍，側(cè)面積、體積擴(kuò)大縮小n倍

3、削成最大體積的問(wèn)題：

正方體里削出最大的圓柱圓錐? ?圓柱圓錐的高和底面直徑等于正方體棱長(zhǎng)

長(zhǎng)方體里削出最大的圓柱圓錐? ?圓柱圓錐底面直徑等于寬（寬﹥高）圓柱圓錐高等于長(zhǎng)方體高

4、浸水體積問(wèn)題：水面上升部分的體積就是浸入水中物品的體積，等于盛水容積的底面積乘以上升的高度。

5、等體積轉(zhuǎn)換問(wèn)題：一圓柱融化后做成圓錐，或圓柱中的溶液倒入圓錐，都是體積不變的問(wèn)題，注意不要乘以。