Quantum Physics I, Lecture Note 2 | Quantum Physics I | Physics | MIT OpenCourseWare

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Chapter 2: Experiments with photons （關(guān)于光子的實(shí)驗(yàn)）

1?Mach-Zehder Interferometer?馬赫-曾德爾干涉儀?

我們之前已經(jīng)討論過馬赫-曾德爾干涉儀，如圖1所示。它包括兩個(gè)分束器 BS1 和 BS2，以及兩面鏡子。在干涉儀內(nèi)部，有兩束光，一束經(jīng)過上方支路，另一束經(jīng)過下方支路。這在 BS2 之后延伸出去：上方支路延伸至 D0，而下方支路延伸至 D1。

??上述圖中的垂直切面與兩束光線相交，我們可以詢問在那束光線上找到光子的概率。為此，我們需要兩個(gè)概率振幅，或者說兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們的模的平方將給出概率。我們可以將這個(gè)信息編碼成一個(gè)由兩個(gè)分量組成的向量，如下所示：

? 這里，α 是位于上方光束的概率幅，而β 則是位于下方光束的概率幅。因此，|α|2 將是在上方光束中找到光子的概率，而|β|2 則是在下方光束中找到光子的概率。由于光子必定位于這兩束光線中的一束中，我們必須滿足：、

按照這個(gè)表示法，在光子明確位于其中一束光線中的情況下，我們會(huì)有：

我們可以使用向量加法和乘法的規(guī)則，將狀態(tài)（1.1）視為這兩個(gè)更簡單狀態(tài)的疊加：

在圖1所示的干涉儀中，我們在下方支路中加入了一個(gè)“相移器”，這是一塊材料，其唯一效應(yīng)是將概率幅乘以一個(gè)固定相位 e^iδ，其中 δ ∈ R。

如圖2所示，設(shè)備左側(cè)的概率幅 α 變?yōu)樵O(shè)備右側(cè)的 e^iδα。由于相位的模為1，相移器不會(huì)改變找到光子的概率。當(dāng)相位 δ 等于 π 時(shí)，相移器的效應(yīng)是改變波函數(shù)的符號，因?yàn)?e^iπ = -1。

? 現(xiàn)在我們來詳細(xì)考慮分束器的效應(yīng)。如果入射光子從上方擊中一個(gè)分束器，我們將認(rèn)為該光子屬于上方支路，并用（1，0）表示。如果入射光子從下方擊中一個(gè)分束器，我們將認(rèn)為該光子屬于下方支路，并用（0，1）表示。我們在圖3中展示了這兩種情況。分束器的效應(yīng)是為每種情況提供一個(gè)輸出波函數(shù)：

正如您從圖表中所看到的，對于從上方射入的光子，s 可以被視為反射概率，而 t 可以被視為透射概率。同樣地，對于從下方射入的光子，v 可以被視為反射概率，而 u 可以被視為透射概率。這四個(gè)數(shù) s、t、u、v 在線性性質(zhì)的作用下，完全刻畫了分束器的特性。它們可以用來預(yù)測在任何入射光子的情況下的輸出情況，這些光子可能具有從上方和從下方射入的概率。事實(shí)上，一個(gè)入射光子狀態(tài)（α，β）會(huì)產(chǎn)生以下輸出

總之，我們可以看出分束器產(chǎn)生了以下效應(yīng)：

我們可以將分束器的作用表示為對入射波函數(shù)進(jìn)行矩陣乘法，矩陣為二乘二的矩陣：

我們現(xiàn)在必須確定關(guān)于 s、t、u、v 的限制。因?yàn)楦怕时仨毾嗉訛橐?，方程?.5）暗示著：

我們使用的分束器被稱為平衡型，這意味著反射和透射的概率是相同的。因此，所有四個(gè)常數(shù)的模的平方必須相等：

讓我們嘗試猜測一下這些值。我們可以有：

如果對歸一化的波函數(shù)（或列向量）進(jìn)行作用后無法得到歸一化的波函數(shù)，那么這種情況會(huì)失敗。因此，我們嘗試使用一些波函數(shù)對：

盡管第一個(gè)示例有效，但第二個(gè)示例不行，因?yàn)?|1|2 + |1|2 = 2 = 1。通過改變 v 的符號可以輕松修復(fù)這個(gè)問題：

讓我們驗(yàn)證這個(gè)矩陣在一般情況下是否有效。因此，對一個(gè)狀態(tài)（α，β）進(jìn)行作用，其中 |α|2 + |β|2 = 1，我們發(fā)現(xiàn)實(shí)際上得到的狀態(tài)已經(jīng)被很好地歸一化了?？偟母怕收俏覀兯谕?。

在方程（1.14）的右下角的負(fù)號意味著從下方射入的光子，在被反射時(shí)，其振幅將被改變一個(gè)符號，或者等效地說，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)相移 π（請驗(yàn)證這一點(diǎn)?。?。這個(gè)效應(yīng)在實(shí)際中當(dāng)然是存在的。典型的分束器由一塊玻璃板組成，在一側(cè)涂有反射性介質(zhì)涂層。涂層的折射率被選擇為介于玻璃和空氣之間。只有當(dāng)光線遇到折射率較高的材料時(shí)，反射才會(huì)引起相位變化。這在從空氣到涂層的過渡中是成立的，但在從玻璃到涂層的過渡中則不成立。因此，由方程（1.14）表示的分束器如果將其涂層放在背面，透射波不會(huì)產(chǎn)生相位變化。

??另一種可分束器概率矩陣是：

這將通過在涂覆介電涂層來實(shí)現(xiàn)。您可以快速檢查，就像前一個(gè)矩陣一樣，它的作用也會(huì)保持概率不變。我們將稱左側(cè)的分束器為 BS1，右側(cè)的分束器為 BS2，它們各自的矩陣將是：

將這兩個(gè)分束器組合在一起，形成了圖4所示的干涉儀。如果我們現(xiàn)在假設(shè)一個(gè)從左側(cè)射入的入射光子波函數(shù)（α，β），那么進(jìn)入探測器的輸出波函數(shù)是通過首先作用于 BS1 矩陣，然后再作用于 BS2 矩陣得到的：

借助這個(gè)結(jié)果，對于任何輸入的光子狀態(tài)，我們可以立即寫出進(jìn)入探測器的輸出光子狀態(tài)：

??如果輸入的光子束是（0，1），則從干涉儀輸出的是（1，0），因此光子將在D0處被探測到。這在圖5中有顯示。我們可以制作一個(gè)非常簡單的表格，列出可能的結(jié)果及其相應(yīng)的概率P：

現(xiàn)在，按照圖6所示的指示，封住下方的光路。那么會(huì)發(fā)生什么？最好是系統(tǒng)地追蹤一下。輸入的光束，經(jīng)過BS1的作用，會(huì)產(chǎn)生：

這在圖中被指示出來，在BS1的右側(cè)。然后，下方支路被 阻擋，而上方支路繼續(xù)進(jìn)行。上方支路到達(dá)BS2，這里的輸入是（1/√2，0） ，因?yàn)橄路街窙]有發(fā)出任何東西。因此，我們得到一個(gè)輸出：

??

? 在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中有三種可能的結(jié)果：光子可以被阻擋吸收，或者進(jìn)入兩個(gè)探測器中的任何一個(gè)。正如我們在圖表中所看到的，這些概率是：

值得注意的是，在封住下方光路之前，我們無法將光子送到D1。現(xiàn)在到達(dá)D1的概率為1/4，通過封住一條光路而增加了概率。

2 Elitzur-Vaidman Bombs?

伊利澤-威德曼炸彈測試問題

為了看到通過封住一條光路使光子到達(dá)D1是多么奇怪，我們考慮一種由以色列特拉維夫大學(xué)的物理學(xué)家Avshalom Elitzur和Lev Vaidman提出的虛構(gòu)情境。他們想象了一種特殊類型的引爆器：光子探測器。一個(gè)狹窄的管道穿過每個(gè)炸彈，在管道的中間有一個(gè)光子探測器。要引爆炸彈，只需將一個(gè)光子送入管道。然后，光子被光子探測器檢測到，炸彈爆炸。然而，如果光子探測器有缺陷，光子根本不會(huì)被檢測到。它在管道中自由傳播，從炸彈出來，炸彈不會(huì)爆炸。

??這是我們想要解決的情況。假設(shè)我們有一些艾利茲-韋德曼（EV）炸彈，但我們知道其中一些已經(jīng)失效。在不引爆炸彈的情況下，我們?nèi)绾闻袛嘁粋€(gè)炸彈是否可用？為了問題的完整性，假設(shè)我們無法在不破壞炸彈的情況下檢查探測器。

??我們似乎面臨著一個(gè)不可能的情況。如果我們將一個(gè)光子送入探測管道，什么都不發(fā)生，我們就知道炸彈是有缺陷的，但如果炸彈是可用的，它就會(huì)爆炸。似乎不可能在不測試的情況下確認(rèn)炸彈內(nèi)的光子探測器是否工作。但在經(jīng)典物理學(xué)中確實(shí)是不可能的。然而，在量子力學(xué)中并不是不可能的。正如我們將看到的，我們可以進(jìn)行一種被稱為“無相互作用測量”的操作！

現(xiàn)在我們將一個(gè)EV炸彈放置在干涉儀的下方光路上，并將探測管道正確對準(zhǔn)。假設(shè)我們像圖片中所示發(fā)送了一個(gè)光子。如果炸彈是有缺陷的，就好像沒有探測器，干涉儀的下方支路是自由的，我們發(fā)送的所有光子最終都會(huì)進(jìn)入D0，就像在圖5中一樣。

另一方面，如果炸彈工作正常，我們就會(huì)面臨我們在圖6中的情況，即我們在干涉儀的下方支路上放置了一個(gè)障礙塊

假設(shè)炸彈正常工作。那么，在50%的情況下，光子將擊中它并引爆，25%的情況下光子將到達(dá)D0，我們無法判斷它是否有缺陷。但在25%的情況下，光子將到達(dá)D1，由于對于有缺陷的炸彈來說，這是不可能的，我們得知炸彈是可用的！我們得知，即使光子從未通過炸彈，它最終落在了D1。如果您仔細(xì)思考，您一定會(huì)意識到這是極其令人驚訝和反直覺的。但這是真實(shí)的，實(shí)驗(yàn)（不使用炸彈！）已經(jīng)證實(shí)這種無相互作用測量確實(shí)是可能的。