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以下均為復(fù)習(xí)備考資料及相關(guān)練習(xí)題，以供使用

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容

平面向量的數(shù)量積用2課時(shí)．

第1課時(shí)：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義；

第2課時(shí)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律．

向量的數(shù)量積是繼向量的加法、減法、向量的數(shù)乘等線性運(yùn)算之后又一新的運(yùn)算，內(nèi)容包括向量數(shù)量積的定義、投影向量、向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律及其應(yīng)用，既是前面知識(shí)的延續(xù)，又是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用.研究向量數(shù)量積的基本思路和向量線性運(yùn)算的研究路徑具有相似之處，但是向量數(shù)量積的運(yùn)算又具有獨(dú)特性質(zhì).在學(xué)習(xí)中可以類比向量線性運(yùn)算的研究思路，從物理背景出發(fā)定義向量數(shù)量積，從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)向量的數(shù)量積.同時(shí)，要注意提醒學(xué)生將向量線性運(yùn)算和向量數(shù)量積進(jìn)行對(duì)比，準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).

2.?內(nèi)容解析

單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

內(nèi)容的本質(zhì)：本單元是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上，以物理中功的概念，引入向量

“數(shù)量積”的概念．向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)，它不僅滿足交換律，而且對(duì)加法滿足分配律．向量數(shù)量積可以刻畫兩個(gè)向量的夾角和向量的長(zhǎng)度（可以看成兩點(diǎn)間的距離），而距離和角又是刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面）之間度量關(guān)系的基本量．因此，向量數(shù)量積在解決平面幾何問題中發(fā)揮著獨(dú)到的作用．向量的數(shù)量積是一種新的向量運(yùn)算，與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，它也有明顯的物理意義、幾何意義．但與向量的線性運(yùn)算不同的是，它的運(yùn)算結(jié)果不是向量而是數(shù)量．

本單元在研究平面向量的數(shù)量積時(shí)，借助物理中的有關(guān)模型或借助與數(shù)的運(yùn)算的類比，如借助物理中功的概念引出數(shù)量積的概念；借助與數(shù)的運(yùn)算的類比，發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的運(yùn)算律．本單元的內(nèi)容蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、類比、歸納、抽象等數(shù)學(xué)思想方法.

知識(shí)的上下位關(guān)系：

?育人價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．?

二、學(xué)情分析

平面向量數(shù)量積是學(xué)生在完整學(xué)習(xí)了向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，學(xué)生對(duì)于向量運(yùn)算已經(jīng)有了豐富的研究經(jīng)驗(yàn)，對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法也有了較為全面的認(rèn)識(shí)，所以教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生類比已學(xué)知識(shí)，明確研究路徑，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主探究.學(xué)生具有力、功等物理知識(shí)的基礎(chǔ)，在借助物理背景定義向量數(shù)量積的過程中，要充分利用物理模型進(jìn)行知識(shí)遷移，從力的分解角度認(rèn)識(shí)分力做功，為后續(xù)學(xué)習(xí)投影向量做鋪墊，認(rèn)識(shí)投影向量和數(shù)量積的關(guān)系.從力做功的公式出發(fā)，從向量運(yùn)算的視角描述，容易想到需要先定義兩個(gè)向量的夾角.在明確向量夾角的概念后，再定義向量的數(shù)量積就水到渠成了.得到向量數(shù)量積的計(jì)算公式是容易的，但是要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)向量的數(shù)量積.由于學(xué)生具有認(rèn)知慣性，教學(xué)中需要提醒學(xué)生注意區(qū)別向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)而不是向量.雖然向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，但是兩個(gè)向量的大小和方向仍然影響著運(yùn)算結(jié)果，通過向量數(shù)量積的定義認(rèn)識(shí)到運(yùn)算結(jié)果的大小與向量模長(zhǎng)、夾角的關(guān)系，也為投影向量的研究打下基礎(chǔ).

在研究投影向量時(shí)，需要在分類討論的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象，對(duì)學(xué)生幾何直觀和歸納概括的能力要求較高，具有一定的難度.在教學(xué)時(shí)要通過“如何確定投影向量的大小和方向”“影響投影向量大小和方向的因素有哪些”等問題引導(dǎo)學(xué)生，初步感知投影向量與數(shù)量積之間的關(guān)系，為第二課時(shí)研究向量數(shù)量積的運(yùn)算律打下基礎(chǔ).

研究向量數(shù)量積的性質(zhì)也是一個(gè)重難點(diǎn)，由于數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)，向量“形”的特點(diǎn)好像消失了.在教學(xué)中需要強(qiáng)調(diào)向量具有代數(shù)和幾何的特性，一方面是基于投影向量的概念認(rèn)識(shí)數(shù)量積的幾何意義，一方面是從代數(shù)和幾何兩個(gè)層面研究數(shù)量積的性質(zhì)，體現(xiàn)了從一般到特殊、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

在研究向量數(shù)量積的運(yùn)算律中，對(duì)分配律的研究是一個(gè)難點(diǎn)，需要借助投影向量的概念進(jìn)行研究。由于學(xué)生在第一課時(shí)剛獲得這個(gè)概念，可能尚未完成對(duì)概念的自主建構(gòu)，因此可能不能熟練運(yùn)用這個(gè)新概念與運(yùn)算律的探究過程之中。另外學(xué)生可能天然的認(rèn)為實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的相關(guān)運(yùn)算定律都能類比到向量的數(shù)量積，但事實(shí)上并非如此。這種類比帶來的錯(cuò)誤的遷移也是本課學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。

三、目標(biāo)及其解析

1.課時(shí)目標(biāo)

（1）通過類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算定律，研究向量數(shù)乘的運(yùn)算定律，體會(huì)類比作為一種合情推理，其結(jié)論不一定正確的特點(diǎn)，發(fā)展高階思維和理性競(jìng)賽，提升邏輯推理素養(yǎng).

（2）通過對(duì)數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律的論證，加深對(duì)向量數(shù)量積幾何意義的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，提升直觀想象素養(yǎng).

（3）通過應(yīng)用數(shù)量積解決一些幾何問題，初步感受代數(shù)方法解決幾何問題的基本思想，體會(huì)向量的工具性作用，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）?能類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算定律，猜想數(shù)量積運(yùn)算可能滿足的定律，能對(duì)其中成立的定律進(jìn)行論證，能對(duì)其中不成立的定律舉出反例.

（2）?能夠自己構(gòu)建幾何圖形，并借助向量數(shù)量積的幾何意義完成對(duì)分配律的證明；

（3）?能夠應(yīng)用向量的數(shù)量積運(yùn)算定義及相關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算率，解決一些簡(jiǎn)單的求兩點(diǎn)間距離、夾角、垂直等相關(guān)問題.

四、教學(xué)問題診斷分析

教學(xué)問題一：在研究向量數(shù)量積的運(yùn)算律中，對(duì)分配律的研究是一個(gè)難點(diǎn)，需要借助投影向量的概念進(jìn)行研究。向量投影的本質(zhì)是高維空間向低維空間的線性變換，從而得到和向量共線的投影向量.基于投影向量理解向量數(shù)量積的幾何意義，認(rèn)識(shí)投影向量與數(shù)量積的關(guān)系，對(duì)于后續(xù)研究向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律打下基礎(chǔ).學(xué)生在第一課時(shí)剛獲得這個(gè)概念，可能尚未完成對(duì)概念的自主建構(gòu)，因此不能熟練運(yùn)用這個(gè)新概念與運(yùn)算律的探究過程之中。在本課的起始階段，應(yīng)該重點(diǎn)就投影向量的概念、數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)；

教學(xué)問題二：學(xué)生可能天然的認(rèn)為實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的相關(guān)運(yùn)算定律都能類比到向量的數(shù)量積，但事實(shí)上并非如此。數(shù)量積交換律和分配律依然成立，但是結(jié)合律和消去律不在成立。結(jié)合律不成立的原因在于任何兩個(gè)向量的數(shù)量積都是實(shí)數(shù)，此時(shí)無法在與第三個(gè)向量進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算了；而任意兩個(gè)向量，如果在第三個(gè)向量上的投影向量相等，那么這兩個(gè)向量分別與第三個(gè)向量的數(shù)量積便相等，這使得消去律不再成立.教學(xué)中教師應(yīng)該設(shè)計(jì)好教學(xué)活動(dòng)和學(xué)習(xí)任務(wù)，使得學(xué)生能夠數(shù)形結(jié)合，圖文并茂的把這些可能產(chǎn)生認(rèn)知障礙的地方生探究清楚；

教學(xué)問題三：本課還需要借助數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律推導(dǎo)一些數(shù)量積運(yùn)算的公式，比如完全平方和公式、平方差公式等.并且借助這些公式解決兩點(diǎn)間距離問題，垂直的轉(zhuǎn)化，兩向量夾角余弦的計(jì)算等.這些剛習(xí)得新知部分學(xué)生可能尚未來得及內(nèi)化，因此在應(yīng)用過程中也可能產(chǎn)生一些障礙。教師在教學(xué)中，應(yīng)該合理的搭建好腳手架，設(shè)計(jì)分層次的學(xué)習(xí)任務(wù)供給學(xué)生探究，逐步完成對(duì)相關(guān)知識(shí)的自主建構(gòu)，并能運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決平面幾何中的一些簡(jiǎn)單的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的判斷、證明、計(jì)算求解等.

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律、向量數(shù)量積的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：向量數(shù)量積的分配律的證明.向量數(shù)量積消去律不成立的反列構(gòu)建.