（合計(jì)585字，用時40min——）

第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第一節(jié)?微分中值定理

一、羅爾定理

定理——

1. 費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導(dǎo)，如果對任意的x∈U(x0)有f(x)<=f(x0)(f(x)>=f(x0))，那么f'(x0)=0。

2. 羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足

1. 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

2. 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

3. 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)

   ——那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0。

二、拉格朗日中值定理

定理——

1. 拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足

1. 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

2. 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

   ——那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。

2. 輔助函數(shù)：φ(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)。

3. 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)。

三、柯西中值定理

定理——

1. 柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足

1. 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

2. 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

3. 對任一x∈(a,b)，F(xiàn)'(x)≠0

   ——那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

2. 輔助函數(shù)：φ(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]}[F(x)-F(a)]。