凸優(yōu)化的基本體系

??凸優(yōu)化知識(shí)體系主要由以下幾個(gè)組成：

• 凸集： 定義目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的定義域。

• 凸函數(shù)： 定義優(yōu)化相關(guān)函數(shù)的限制。

• 凸優(yōu)化： 中心內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)描述。

• 凸優(yōu)化問(wèn)題求解： 本文的重點(diǎn)，相關(guān)算法。

• 對(duì)偶問(wèn)題： 將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問(wèn)題的有效手段，求解凸優(yōu)化問(wèn)題的有效方法。

標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化問(wèn)題

??標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化問(wèn)題例如下式：

表示在所有

表示在所有滿足f_i(x)\leq 0,i=1,\dots m \wedge h_i(x)=0,i=1,\dots,p的x中找出使f_0(x)最小的x。

??這里，x\ni R^n,函數(shù)f_0:R^n\rightarrow R稱為目標(biāo)函數(shù)，相應(yīng)的f_i:R^n\rightarrow R i=1,\dots m成為不等式約束，方程組h_i(x)=0稱為等式約束。假設(shè)m=n=0則稱為無(wú)約束問(wèn)題。

??對(duì)目標(biāo)和所有約束函數(shù)有定義點(diǎn)的集合(定義域)

滿足f_i(x)\leq 0,i=1,\dots m \wedge h_i(x)=0,i=1,\dots,p的x中找出使f_0(x)最小的x。

??這里，x\ni R^n,函數(shù)f_0:R^n\rightarrow R稱為目標(biāo)函數(shù)，相應(yīng)的f_i:R^n\rightarrow R i=1,\dots m成為不等式約束，方程組h_i(x)=0稱為等式約束。假設(shè)m=n=0則稱為無(wú)約束問(wèn)題。

??對(duì)目標(biāo)和所有約束函數(shù)有定義點(diǎn)的集合(定義域)