首先我們討論的是歐式空間

向量和向量之間距離為

?是一個(gè)映射

多元函數(shù)極限的定義

等價(jià)于

? 有

多元函數(shù)可導(dǎo)的定義

其實(shí)就是考研經(jīng)?？嫉?strong>可微，只不過考研一般考的是?

存在一個(gè)到線性變換 , 對(duì)于所有?, 有

記作

證明唯一:

根據(jù)定義可以獲得?對(duì)于?有?

我們得到了?? 其中?,??

假設(shè)?對(duì)應(yīng)的矩陣包含了一個(gè)不全為0的列向量,不失一般性, 我們就假設(shè)這個(gè)列向量是第一列，記 是單位向量，于是有?

即

?這顯然和 矛盾了 所以

一定是0矩陣所以?

方向?qū)?shù)定義

? 都有

注意這里和一元函數(shù)里的導(dǎo)數(shù)的定義不一樣

記作?

可微則必有方向?qū)?shù)

證明:

在可微的定義里面我們把?換成 得到

即

因?yàn)?是有界的所以? 也是無窮小

所以有

其中?

也可以記作

偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)有點(diǎn)相似 區(qū)別在于偏導(dǎo)數(shù)沒有指定是正方向還是負(fù)方向，也就是?和? 的時(shí)候極限要想等

下面開始證明一個(gè)重要的結(jié)論，對(duì)于一個(gè)? 如果它的偏導(dǎo)數(shù)在?處連續(xù)那么

在處可微

先考慮??的場(chǎng)景 記?

因?yàn)? 是連續(xù)的 所以我們可以找到一個(gè)很小的??當(dāng)? 時(shí)

?

于是應(yīng)用拉格朗日中值定理

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=0%20%3C%20%7C%5Ctheta%20%5CDelta%20x_1%7C%20%3C%20%5Clvert%20%5CDelta%20x_1%20%5Crvert%20%3C%20%5Cdelta" alt="0%20%3C%20%7C%5Ctheta%20%5CDelta%20x_1%7C%20%3C%20%5Clvert%20%5CDelta%20x_1%20%5Crvert%20%3C%20%5Cdelta"> 所以

同理

因?yàn)? 所以?

繼續(xù)枚舉可以得到

再把左邊相加得到應(yīng)用三角不等式

得到

注意到

令?

于是就有了

所以根據(jù)定義得到了可微性

再考慮??的場(chǎng)景

為了方便我們臨時(shí)定義一個(gè)算子,?若?則有?

容易證明這是一個(gè)線性算子，并且有如下的性質(zhì)

?

?

有了這個(gè)算子后我們可以定義?? 嘗試把多元問題轉(zhuǎn)成一元的問題

引理:???

證明:

?

因此?

后面省略下期再寫