本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans.?Alex Martsinkovsky,?Geometry of Conics,?American?Mathematical?Society, 2007.

翻譯：野呂侯奈因

僅供學(xué)習(xí)交流使用

譯者按：

本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯. 鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機(jī)會來推廣一下二次曲線的射影幾何視角.

前言：

二次曲線，或者說圓錐曲線，通常被視為解析幾何學(xué)研究的對象而存在于工科專業(yè)的低年級授課中．對于其幾何性質(zhì)充其量也就介紹了些光學(xué)性質(zhì)．但這些曲線還擁有更多有用的性質(zhì)，甚至大部分都是可以建立在高中生就能接觸到的初等幾何方法上的．此外，二次曲線還可以幫助解決一些看似與其無關(guān)的幾何問題．在本書中讀者將會學(xué)習(xí)到很多關(guān)于二階曲線非常有趣的知識，其中有些甚至是近些年才被證明出來的．

第一章介紹了二次曲線的一些基本性質(zhì)，其中大部分性質(zhì)都是眾所周知的，剩下的那部分也很簡單，因此整章的內(nèi)容都沒有超出普通高中生的理解能力范疇．一些簡單但很重要的結(jié)論會被留作習(xí)題，希望讀者在翻閱解答前能先嘗試自行解決，這會有助于對接下來內(nèi)容的理解．第二章是一些前置性的資料，內(nèi)容是高中教學(xué)中不常提及卻被理解后續(xù)章節(jié)所需要的古典幾何學(xué)知識．第3章中介紹了二次曲線的一般射影性質(zhì)，像是二次曲線束的相關(guān)定理，也就有些難度了．最后，在第四章介紹了一些度量性質(zhì)，通常只會在特殊的二次曲線中考慮它們．這也是本書中難度最大的一章，需要建立在充分理解先前章節(jié)的基礎(chǔ)上閱讀．?

作為作者在此感謝I. I. Bogdanov和E. Yu. Bun'kova提供的寶貴意見．

第一章
二次曲線的諸基本性質(zhì)
1.1. 定義

如果你釘下一根木樁拴住山羊，它吃草的范圍就會是以木樁為圓心，繩長為半徑的圓．如果你釘下兩根木樁系在繩子的兩端，再用這條可滑動(dòng)的繩子拴住山羊，這時(shí)他吃草的范圍就會變得像圖1.1這樣．

??與是兩焦點(diǎn)；與分別表示長軸和短軸．

在這條上的所有點(diǎn)，其到到木樁的距離之和都等于繩長．這樣的曲線叫做橢圓(ellipse)，木樁所在的點(diǎn)叫做焦點(diǎn)(focus)．

顯然，橢圓看起來像個(gè)“被抻長的圓”，并且明顯有兩個(gè)對稱軸，分別是焦點(diǎn)所連直線以及焦點(diǎn)所連線段的中垂線，它們分別被稱作橢圓的長軸(major axis)和短軸(minor axis)．它們在橢圓內(nèi)部的長度叫做長軸長和短軸長，焦點(diǎn)之間的距離被稱作焦距．

同樣很明顯的是，拴山羊的繩長就等于它吃草區(qū)域所形成的橢圓的長軸長．

直觀上看，很顯然山羊可以吃掉在橢圓內(nèi)的所有點(diǎn)長的草，并且永遠(yuǎn)無法離開橢圓．但是這個(gè)問題的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)述就不能用顯然來一筆帶過了．

練習(xí)1. 求證：在橢圓內(nèi)的所有點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和小于長軸長，在橢圓外的所有點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和大于長軸長．

解答：用和表示兩焦點(diǎn)，任取一點(diǎn)．設(shè)為射線與橢圓的交點(diǎn)．先假設(shè)點(diǎn)在橢圓內(nèi)．由三角不等式，有，因此有（圖1.2）．

其中就等于繩長，也就是長軸長.在橢圓外時(shí)的證明也與之類似，我們有．因此有．

在力學(xué)中經(jīng)常能看到橢圓的身影．例如，行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡就是一個(gè)也太陽為其中一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．（開普勒定律(Kepler's Law)）

橢圓就是一種二次曲線(curve of second degree)，或者說圓錐曲線(conic)．除此之外還有拋物線(parabola)和雙曲線(hyperbola)．

雙曲線作為到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值為定值的所有點(diǎn)的集合，這兩個(gè)定點(diǎn)被稱作焦點(diǎn)(focus)．

雙曲線由兩支漸近于兩條直線的曲線組成，這兩條直線叫做雙曲線的漸近線(asymptote)．兩條漸近線相互垂直的雙曲線被稱作等軸雙曲線(equilateral)．

雙曲線的兩焦點(diǎn)確定的直線是雙曲線的一條對稱軸，叫做實(shí)軸(real axis)．雙曲線兩焦點(diǎn)所連線段的中垂線也是雙曲線的一條對稱軸，叫做虛軸(imaginary axis)．（圖1.3）

與是兩焦點(diǎn)，與分別表示實(shí)軸和虛軸，和為兩漸近線．

假如有一顆彗星接近了太陽，而太陽對它的引力又過小而不足以支持它進(jìn)入太陽系，那么這顆行星的軌跡就會是一支以太陽中心為該支焦點(diǎn)的雙曲線．

（譯者注：實(shí)際上，彗星繞日運(yùn)行的軌跡只能為二次曲線．）

拋物線作為到一定點(diǎn)和一定直線距離都為相等定值的點(diǎn)的集合，其中的定點(diǎn)和定直線分別被叫做拋物線的焦點(diǎn)(focus)和準(zhǔn)線(directrix)（圖1.4）．

經(jīng)過焦點(diǎn)引一條準(zhǔn)線的垂線，即為拋物線的軸(axis of the parabola)．

顯然，它就是拋物線的對稱軸．

（譯者注：中文里好像都沒有這種叫法？）

為焦點(diǎn)，與分別為準(zhǔn)線和拋物線的軸．

我們可以注意到，如果以某個(gè)角度投擲出一枚石子，石子正好會沿著拋物線運(yùn)動(dòng)．

另外，從幾何觀點(diǎn)上看，拋物線只存在一種形態(tài)（就像圓只存在一種形態(tài)一樣）．更準(zhǔn)確地說，一切拋物線都相似，即任意拋物線都可通過旋轉(zhuǎn)位似變換轉(zhuǎn)化為另一拋物線．

（譯者注：關(guān)于拋物線和圓都只存在一種形態(tài)這一性質(zhì)之間的聯(lián)系，聰明的讀者可能會想到圓錐曲線靜態(tài)的原始定義：以一平面截一圓錐面，當(dāng)平面與圓錐的軸垂直時(shí)，截面圖形為圓；當(dāng)平面平行于圓錐母線時(shí)，截面圖形為拋物線．至于進(jìn)一步的說明，只需要用一種構(gòu)造性的方法構(gòu)造出一個(gè)由所有圓或拋物線平行排布出的椎體即可．）

現(xiàn)在來考慮一系列橢圓，它們擁有同一個(gè)焦點(diǎn)并且經(jīng)過同一個(gè)定點(diǎn)．我們讓另一個(gè)焦點(diǎn)不斷趨近于某個(gè)方向上的無窮遠(yuǎn)處，那么這個(gè)橢圓也就會不斷趨近于一個(gè)擁有同一焦點(diǎn)，其軸平行于該方向的拋物線。我們同樣可以對雙曲線做類似的操作．因此拋物線實(shí)際上是橢圓和雙曲線的極限情況．

練習(xí)2. 請敘述并證明：對于拋物線和雙曲線，都有與練習(xí)1類似的結(jié)論．

解答：對于拋物線內(nèi)的點(diǎn)，其到焦點(diǎn)的距離小于到準(zhǔn)線的距離，拋物線外的點(diǎn)則反之（圖1.5）．

設(shè)為在準(zhǔn)線上的投影，為與拋物線的交點(diǎn)，用表示拋物線的焦點(diǎn)．由拋物線的定義，有．若位于拋物線內(nèi)，則有．由三角不等式，有．若與拋物線分居準(zhǔn)線兩側(cè)，則點(diǎn)在拋物線之外時(shí)的結(jié)論顯然成立．若在拋物線之外而與拋物線位于準(zhǔn)線的同側(cè)，那么有，且由三角不等式，有．故可得．

對于雙曲線，結(jié)論則如下所述：設(shè)為雙曲線上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)和之間距離之差，設(shè)為所在支的雙曲線．則對于在之外（內(nèi)）的點(diǎn)，都有的值小于（大于）．（圖1.6）

當(dāng)在之內(nèi)時(shí)，設(shè)為與的交點(diǎn)．則有．由三角不等式，有,因此可得．

若在之外，設(shè)為與的交點(diǎn)．則有．由三角不等式，有．因此可得．

我們可以注意到（證明先賣個(gè)關(guān)子）無論是橢圓，拋物線，還是雙曲線都有以下性質(zhì)：平面內(nèi)任一直線至多與該曲線交于兩點(diǎn)；任取平面內(nèi)一點(diǎn)，至多可引該曲線的兩條切線．這些性質(zhì)也只是1.5節(jié)中結(jié)論的顯然推論．

練習(xí)3.?試求兩定圓其公切圓圓心的軌跡．

解答：為了使問題更加具體，先考慮這兩個(gè)以、為圓心，、為半徑的圓外離時(shí)的情況．若這個(gè)以為圓心，為半徑的公切圓與兩圓都外切，則有及，可得，即會落在以為兩焦點(diǎn)的雙曲線的一支上．類似地，若公切圓與兩圓都內(nèi)切，則會落在該雙曲線的另一支。若公切圓與其中一個(gè)圓內(nèi)切并與另一個(gè)圓外切，則有，即此時(shí)落在焦點(diǎn)相同的另一條雙曲線上．同樣，若存在一圓內(nèi)含于另一圓的情況，則所求軌跡則可能出現(xiàn)兩種以為兩焦點(diǎn)，或為長軸長的橢圓的情況．至于兩圓相交的情況，就留給讀者思考了．

（譯者注：兩圓相交的情況與外離的情況類似：公切圓與兩圓都外切時(shí)，在以為兩焦點(diǎn)，為實(shí)軸的雙曲線的一支在圓外的部分上；公切圓與兩圓都內(nèi)切且公切圓內(nèi)含于兩圓時(shí)（當(dāng)然，兩圓相切時(shí)不會出現(xiàn)這種情況），在該雙曲線的相同支在圓外的部分上．公切圓與兩圓都內(nèi)切且兩圓都內(nèi)含于公切圓時(shí)，在該雙曲線的另一支上．另外，書中也有些情況沒有提及，比如當(dāng)兩圓半徑相等時(shí)，無論兩圓的位置關(guān)系如何，都會落在所連線段的中垂線（當(dāng)然，不包括切點(diǎn)或者兩圓交點(diǎn)）上；而當(dāng)兩圓內(nèi)切且公切圓與兩圓都外切時(shí)，則會落在或到兩圓切點(diǎn)方向的射線在兩圓外部的部分．可能對這個(gè)問題研究得最透徹的還得屬中等教育界人士吧（笑）．）

譯后記：

本段和緊隨其后的1.2可以說是全書中最貼近高中教學(xué)的部分了．原以為這兩段存在的意義是照顧沒有學(xué)習(xí)過圓錐曲線的讀者，讀后卻覺得更像是面向?qū)W習(xí)過圓錐曲線的讀者來鞏固知識．本段使用了很多并不是那么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹白⒁獾健薄ⅰ帮@然”等字眼，想必也是默認(rèn)讀者接觸過相關(guān)知識吧．本段有一個(gè)在我看來相當(dāng)精妙的比喻，就是引入橢圓時(shí)提到的山羊吃草，起初還沒太參透為什么要這么比喻，直到看到后面討論點(diǎn)在橢圓內(nèi)外跟與焦點(diǎn)距離之和的關(guān)系才恍然大悟．在我看來本段的寫作特點(diǎn)也是如此，在保持了其通俗易懂的同時(shí)沒有放棄作為一本數(shù)學(xué)教材應(yīng)有的細(xì)致與準(zhǔn)確．