【菲赫金哥爾茨微積分學教程精讀筆記Ep5】對Ep2中戴德金分劃的一點補充（二）
今天我們來繼續(xù)昨天的話題，對Ep2中敘述上的一些小bug進行補充說明。
為了防止第一次點進來的寶寶們一臉懵逼，我們先回顧一下之前的內(nèi)容：
我們在Ep2中介紹了，“戴德金分劃”——
老碧也給出了闡釋：“這個定義等于是說，攔腰切一刀，把有理數(shù)分為兩段。兩段沒有公共元素，然而兩段拼在一起就是有理數(shù)集，與此同時，從兩段各任取一個數(shù)，其中一段取出的數(shù)永遠比另一段取的數(shù)小。數(shù)大的那一組叫上組，數(shù)小的那一組叫下組。也因此，那一刀位置就有講究了。書中列舉了，三種可能性。”?
分別是：?
上組有最小數(shù)，下組無最大數(shù)；
上組無最小數(shù)，下組有最大數(shù)；
上組下組都無最值。
上期老碧聊到，實際上有四種可能性，老碧漏說了一種：
上組有最小數(shù)，下組無最大數(shù)；
上組無最小數(shù)，下組有最大數(shù)；
上組下組都無最值；
上組下組都有最值。
而第四種可能性，書中也給了說明為什么不可能：
對于這個證明的理解，老碧上一期做了詳細的闡釋，這里就不多做贅述了。感興趣的同學可以閱讀文章【菲赫金哥爾茨微積分學教程精讀筆記Ep3】。
今天我們來聊Ep2中第二個沒有闡述清楚的點。
Debug2：
在對“第三種情況”的證明解釋中，老碧提到了這個證明用到了“阿基米德公理”和“排中律”，但是具體怎么用到的，老碧沒有說清楚，這里進行重述。
我們先看“情形三”的證明，書中以我們發(fā)現(xiàn)的第一個無理數(shù)根號二為例：
我在Ep2中給出如下說明：
“首先這道題的思路很簡單，這道題是為了證明，如此得到的分劃，上組無最小有理數(shù)，下組無最大有理數(shù)。
（這里補充一點，有一類最常見的證明題，叫做存在性命題，就是證明一個條件或者數(shù)字的存在性。
而存在性命題最常用的思路無外乎兩種：?
?第一種——定性式證明，常用方法，反證法。
在這種證明思路中，我們只知道這個事物是存在的或者成立的。但是，這個東西具體是什么，我們不得而知。數(shù)列極限那一章的多數(shù)習題都是這個類型。
第二種——定量式證明，常用方法，構造法。
這種證明思路，就相對而言比較精細了，上來就是一系列操作，然后把那個你要證明存在的東西，按照那個操作先“制造”出來，再根據(jù)題目條件驗證，所以一共分為，構造+驗證兩步。
這道證明題中，兩種方法都有涉及。）”
注：“反證法”的邏輯根據(jù)即“排中律”——一個事件與其對立事件必有且僅有一個成立。即“老碧是人”與“老碧不是人”只會有一個是真的。
“反證法”的核心在于，用假設制造矛盾。——如果我們無法直接證明一件事是對的，那么不妨證明這件事的對立面是錯的?！胺醋C法”最普遍應用于，“證明xxx情形不成立”或者“不存在xxx，滿足某條件”的證明中。
分析：
結論中“上下組都無最值”即“上下組中都不存在最值”，于是問題轉化為“存在性命題”。于是方法，以下組為例，有兩個途徑：
（反證法）如果下組存在最大值，則只要證明在最大值與根號2之間包含其他的有理數(shù)即可；
（直接法）取下組任一元素，都發(fā)現(xiàn)在它與根號2之間有其他有理數(shù)即可。
稍微想一下就知道途徑1和2證明邏輯相同，都是證明下組“某一特別的元素”——“最大值”，或者“隨機取的一元素”與根號2之間，所以沒必要用“反證法”。
證明思路：
”要證下組沒有最大數(shù)，即，取下組任意一個數(shù)a，在a與根號2之間還有一個其他數(shù)，我們要做的就是構造出來這個數(shù)。
而這道題巧妙地利用阿基米德公理，以及,如果自然數(shù)n足夠大，那么1/n可以要多小有多小，這一點常識，構造了一個不等式方程。
平方是因為我們還沒有定義根號2這種數(shù)，所以我們不知道這種數(shù)滿足哪些運算律。但是，平方之后，根號2就轉化為了整數(shù)2，有理數(shù)集的不等式運算律我們是清楚的。
至于畫紅線的那一步，被稱為，“放縮法”。
我們知道對自然數(shù)n>1，n^2>n，所以1/n>1/n^2，于是，我們把不等號左邊的1/n^2換成了更大的數(shù)1/n。這個更嚴格的不等式如果成立，那么先前的不等式便一定會成立了。”
而為什么說解到，最后一步n>(2a+1)/2-a^2即可呢?這里就用到了“阿基米德公理”：
很顯然，“阿基米德公理”是一個關于n的“存在性”的公理，給定任何一個有理數(shù)c，無論它有多大，都存在自然數(shù)n比這個有理數(shù)大。
結合上面那個不等式，我們由“阿基米德公理”知道了，存在這樣的n使這個不等式成立。
于是對任意下組數(shù)a，我們構造了a+1/n，當n足夠大的時候，這個數(shù)位于a與根號2之間。也就是“下組”中每一個數(shù)，都能在“下組”中找到比它大的數(shù)，那么下組必然沒有最大值。
同理，上組中沒有最小值。
注：放縮法在《數(shù)學分析》中十分常用。
“因此，分劃分為三種類型。 一二又可合并為一種，它們都存在一個有最值的組。?
三自成一種，上組和下組不存在最值。
所以由“排中律”，這兩種情形構成了所有情況。
又因為，任意一個數(shù)確定一個分劃。所以，由第三型的有理數(shù)分劃，我們定義了一個新的數(shù)——這個數(shù)確定的有理數(shù)分劃，上組沒有最小值，下組沒有最大值。這就是傳說中的無理數(shù)?！?/p>
明天我們就來一個個驗證有理數(shù)的每一條公理對我們這種定義下的無理數(shù)是否也成立，如果成立，那么數(shù)系就得到了擴充。
