四、函數(shù) $\lceil \lg n \rceil !$ 多項式有界嗎？函數(shù) $\lceil \lg \lg n \rceil !$ 多項式有界嗎？

文心一言：

chatgpt：

對于第一個問題，函數(shù) $\lceil \lg n \rceil !$ 是階乘的形式，可以證明它是超多項式增長的，因此不是多項式有界的。

對于第二個問題，函數(shù) $\lceil \lg \lg n \rceil !$ 的增長速度比 $\lceil \lg n \rceil !$ 慢很多。雖然 $\lceil \lg \lg n \rceil !$ 不是多項式，但是它是多項式有界的，也就是說，存在一個多項式 $p(n)$ 和常數(shù) $c$，使得當 $n$ 足夠大時，$\lceil \lg \lg n \rceil ! \leq c \cdot p(n)$。這可以使用斯特林公式來證明。

五、如下兩個函數(shù)中，哪一個漸進更大些：$\lg(\lg^* n)$還是 $\lg^*(\lg n)$？

文心一言：

chatgpt：

在這里，我們將 $\lg^* n$ 和 $\lg^*(\lg n)$ 看作一個函數(shù) $f(n)$ 和 $g(n)$，分別表示對數(shù)冪函數(shù)的不同變形。

首先，我們知道對數(shù)冪函數(shù)增長非常緩慢，它們比多項式增長更慢，但比指數(shù)增長更快。因此，我們可以考慮使用漸進符號來比較這兩個函數(shù)的上界關(guān)系。

由于 $\lg(\lg^* n) = \Theta(\lg f(n))$ 和 $\lg^*(\lg n) = \Theta(\lg g(n))$，因此我們只需要比較 $f(n)$ 和 $g(n)$ 的增長速度即可。

根據(jù)定義，對數(shù)冪函數(shù) $f(n)$ 表示在連續(xù)對數(shù)的情況下，最后得到的結(jié)果為 1 所需的次數(shù)。而對數(shù)冪函數(shù) $g(n)$ 表示對數(shù)字 $n$ 進行重復對數(shù)直到結(jié)果小于或等于 1 的次數(shù)。因此，$\lg^*(\lg n)$ 可以看作是 $\log$ 函數(shù)的反函數(shù)，而 $\lg(\lg^* n)$ 則表示連續(xù)應用反函數(shù)的次數(shù)。

由于反函數(shù)的增長速度要快于原函數(shù)，因此可以推斷出 $\lg^*(\lg n)$ 的增長速度要快于 $\lg(\lg^* n)$，也就是說 $\lg^*(\lg n)$ 是漸進更大的函數(shù)。

因此，$\lg^*(\lg n)$ 的漸進增長速度要快于 $\lg(\lg^* n)$。

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