首先我們承認(rèn)選擇公理

思考這樣一個(gè)區(qū)間套

然后我把? 拆成兩個(gè)區(qū)間?

有那么一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則讓我從??選擇一個(gè)生成

然后我又有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則? 讓我可以從上面任意一個(gè)區(qū)間里面去取一個(gè)實(shí)數(shù)，那么? 是否存在呢?

答案顯然是的

證明如下：

首先區(qū)間的長(zhǎng)度?

是的子集，從取一個(gè)數(shù)也相當(dāng)于從?中取一個(gè)數(shù) 兩個(gè)數(shù)的距離肯定小于?的區(qū)間長(zhǎng)度所以有

以此類推

拓展到? 再運(yùn)用三角不等式得到

所以是一個(gè)柯西序列 因此?

有了上述結(jié)論，我們可以去證一些比較難證明的結(jié)論，例如

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界

我們用反證法，假設(shè)在上連續(xù)而且沒(méi)有上界，那么我們把劃分成兩個(gè)區(qū)間

?因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=h" alt="h">在沒(méi)有上界，所以其中也一定有一個(gè)，使得沒(méi)有上界

以此類推 我們就得到了一個(gè)區(qū)間套

?把二等分，選擇一個(gè)沒(méi)有上界的區(qū)間

我們?cè)俣x??因?yàn)? 是沒(méi)有上界的 所以可以這樣定義

于是我們構(gòu)造出了一個(gè)點(diǎn)?

但是 這就矛盾了

實(shí)數(shù)集合的上確界定理

假設(shè)是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，并且? 有上界?，我們?cè)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=S" alt="S"> 中任取一個(gè)元素?

下面開(kāi)始構(gòu)造區(qū)間套

我們把? 二等分為? 和?

如果??是上界 我們?nèi)?

否則我們?nèi)?

于是這個(gè)區(qū)間套有這么一個(gè)性質(zhì)?

如果??那么?不是 上界而且 是??的上界 證明很簡(jiǎn)單這里就不證明了

我們?nèi)?/p>

?

說(shuō)人話就是?? 分別取區(qū)間的左端和右端

于是

這個(gè)? 就是上確界了

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=g_2(A_n)" alt="g_2(A_n)"> 都是上界

?都不是上界 所以一定小于等于所有的上界

所以又是上界又小于等于所有的上界

介值定理

在? 上連續(xù),? 那么存在??

還是類似

如果

?從 這樣挑選出?

若??

否則

以此類推可以發(fā)現(xiàn)若??則有??而且?

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=f" alt="f">連續(xù)，根據(jù)兩邊夾法則 我們就找到了?

有界數(shù)列必有收斂子列

這個(gè)定理可以用于證明最值定理和 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性 非常有用

證明:

假設(shè),?

我們?nèi)?

若?? 從? 和? 中選擇 選擇那個(gè)包含無(wú)限個(gè)??中元素的那個(gè)區(qū)間

這個(gè)選擇是成立的 可以從歸納法證明 因?yàn)? 包含了無(wú)限多個(gè)? ，如果? 都包含有限個(gè)? 那就矛盾了

于是

我們令??

在??的前提下

滿足? 而且??

于是我們找到了收斂子列?