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復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)每周一題[2021A12]參考解答

2021-12-04 09:54 作者:CharlesMa0606 0人讀過 | 我要投稿

本文是本人給出的2021年復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)的每周一題[問題2021A11]的解答

題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在他的博客提供的每周一題練習(xí)

（鏈接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文僅供學(xué)習(xí)交流，如有錯(cuò)誤懇請(qǐng)指正！

[問題2021A12]設(shè) $n$ 階方陣 $A$ 的秩等于 $r$ ， $k$ 為非零常數(shù).證明： $A%5E2%3DkA$ 的充要條件是對(duì) $A$ 的任一滿秩分解 $A%3DBC$ 都有 $CB%3DkI_r$ .

解? 先證充分性，若對(duì) $A$ 的任一滿秩分解 $A%3DBC$ 都有 $CB%3DkI_r$ ，那么

$A%5E2%3DBCBC%3DBkI_rC%3DkBC%3DkA$

再證必要性，若 $A%5E2%3DkA$ ,設(shè) $A%3DBC$ 是 $A$ 的任意一個(gè)滿秩分解，于是：

$%7BBCBC%3DA%7D%5E2%3DkA%3DkBC$

因?yàn)榱袧M秩陣存在左逆，行滿秩陣存在右逆，從而

$CB%3DkI_r$

于是我們證明了 $A%5E2%3DkA$ 的充要條件是對(duì) $A$ 的任一滿秩分解 $A%3DBC$ 都有 $CB%3DkI_r$ .

$%5BQ.E.D%5D$

注(1)這道題是復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)習(xí)題課_嗶哩嗶哩_bilibili的練習(xí)題4,是第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽一道代數(shù)試題的推廣，之前也已經(jīng)上傳到過我的專欄.

(2)文末附上圖片格式的解法，有需要的讀者可以自行取用，僅供學(xué)習(xí)交流

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