大家好，我是你們的好朋友老碧，又到了每天的數(shù)學閱讀時間，激不激動，開不開心?！刻煳宸昼?，數(shù)學更輕松！

今天給上一個話題收個尾，下一周，我們就要開啟一個更加有趣的新話題了。

在此之前，我們對之前的所有內容做一個簡單的回顧——

在Ep1，我們從一個驚世駭俗的發(fā)現(xiàn)開啟了所有的話題，這個世界上居然有不是分數(shù)的數(shù)——根號二。于是，擴充數(shù)系迫在眉睫——數(shù)系擴充之后，之前有理數(shù)存在的性質或公理，在新的數(shù)系中也必須成立，所以我們首先介紹了有理數(shù)的“序公理”、“域公理”和“阿基米德公理”。之后的首要任務便是兩點：一，給出新數(shù)的精確定義；二，驗證對新數(shù)也具有這些公理性質。

好吧，許多小朋友一定覺得，這明明是初中就學過的簡單玩意兒，老碧這么少見多怪，大驚小怪，莫不是個孬子？為了說明這個發(fā)現(xiàn)曾對數(shù)學王國造成怎樣深遠沉重的影響，我們在Ep7和Ep8介紹了數(shù)學研究的兩種發(fā)展思路時，我們就聊到了，在兩千多年前，篤信著萬物皆可度量的古希臘，根號二的發(fā)現(xiàn)撼動了數(shù)學學科的根基，并且直接沖擊了人們的信仰，這個數(shù)字簡直相當于地獄的象征。

直到兩千多年后的十九世紀，我們才擁有了對無理數(shù)或者說實數(shù)的精確定義，這個定義的邏輯基礎就是“排中律”，即非此即彼，我們在Ep2對“排中律”進行了一個簡要的介紹，而為什么“排中律”在數(shù)學中是普遍接受的，我們在Ep8中進行了闡釋。

我們對無理數(shù)的精確定義，源于無理數(shù)的最樸素定義——“不是有理數(shù)的數(shù)”，至此引出對數(shù)的分類，所有對無理數(shù)的精確定義，都源于對這個樸素定義的形式化表達。而最常見的定義有兩種形式。

第一種源于“戴德金分割”理論中“有理數(shù)分劃”的概念，我們在Ep2~Ep5（Ep4是休息日視頻）對這個定義的邏輯進行了詳細闡釋，并且介紹了數(shù)學中兩種最常見的證明思路——“定性式證明”與“定量式證明”，對應的常用方法分別是——“反證法”和“構造法”。

至此我們完成了對"有理數(shù)分劃"的闡釋，“無理數(shù)”對應的“有理數(shù)分劃”是唯一的，而“有理數(shù)”對應的“有理數(shù)分劃”則會存在兩種情況，于是在Ep6我們闡述了數(shù)學語言“消歧義性”的原則，同時介紹了，類似的情況，我們會人為規(guī)定一種情況，以達到數(shù)學定義的“消歧義”，本書，“有理數(shù)”作為界數(shù)，總屬于上組，自此實現(xiàn)“一一對應”。接著我們利用這個定義，給出了“實數(shù)的序”的概念。

在Ep9，Ep10（Ep11是休息日視頻）我們驗證了“序公理”在實數(shù)范圍依然成立。同時介紹了一個精致的小命題——“如何從無限的角度定義等于”？

為了闡釋這個小命題的有趣之處，我們在Ep12，用這個小命題證明了一個用有限角度來看完全無法理解的等式——3.500000……=3.499999……，我們還介紹了另一種算術的證明方法。

Ep13我們詳細聊了聊“一一對應”的樸素理解與樸素證明思路，“一一對應”從集合論角度來說便是“雙射”，是一種十分特殊的“映射”，在數(shù)學中應用廣泛。

Ep14我們由構造“不是整數(shù)or有盡小數(shù)的數(shù)”引出了一種全新的數(shù)的定義“無盡小數(shù)”。

Ep15我們證明了每一個“整數(shù)”和“有盡小數(shù)”都有兩個“無盡小數(shù)”的表達形式——本著消歧義性的原則，一本書只會選擇其中一種作為其表達形式。

由Ep14和Ep15我們知道，任取一個實數(shù)，都有唯一的“無盡小數(shù)”與之對應。

Ep16我們引入了，無盡小數(shù)的“n位不足近似”與“n位過剩近似”的概念，以此為出發(fā)點，驗證了，任意一個“無盡小數(shù)”也有唯一的一個“有理數(shù)分劃”與之對應，即，對應唯一的實數(shù)。

自此，實數(shù)與“無盡小數(shù)”實現(xiàn)“一一對應”，我們驗證了第二種實數(shù)的定義形式——“無盡小數(shù)”形式。

今天給“實數(shù)定義”這個大的話題收個尾，下一周就開始下一個有趣的話題——驗證“實數(shù)”范圍內，“有理數(shù)”存在的公理都成立。

9用無盡小數(shù)來表示實數(shù)

書中首先給出了關于“十進小數(shù)”的一個簡要說明：

接著我們從一個“構造過程”得到了“無盡小數(shù)”的精確定義：

關于這個構造具體的闡釋見Ep15——

類似于“無理數(shù)”的感性認知是“數(shù)軸上點對應的不是有理數(shù)的數(shù)”——更樸素的“無盡小數(shù)”的定義僅僅是“不是整數(shù)，且，不是有盡小數(shù)的數(shù)”，我們以此為出發(fā)點，結合“十進小數(shù)”的定義，導出了“無盡小數(shù)”。

接著我們驗證了，“整數(shù)”或者“有盡小數(shù)”也有“無盡小數(shù)”的表示法——

這樣，所有的實數(shù)就都可以統(tǒng)一在“無盡小數(shù)”這一個形式之下。

接著，我們驗證了反過來的過程也成立——任給一個“無盡小數(shù)”，總能找到唯一一個實數(shù)與之對應——即總能找到一個“有理數(shù)分劃”與之對應。

這種命題叫做“存在唯一性命題”，一般分兩步，1.存在性證明，2.唯一性證明——唯一性證明普遍采取“反證法”，假設有其他值滿足題設，導出矛盾。

先是存在性——

——Ep15的闡釋中存在一點小bug，我們做一些補充——

對于任意無盡小數(shù)C.c1c2……cn……：

1. 我們將所有小于C.c1c2……cn……的一切的“n位不足近似”的有理數(shù)組成一個集合，我們將所有大于C.c1c2……cn……的一切的“n位過剩近似”的有理數(shù)組成一個集合，就構造了一個“有理數(shù)分劃”，其界數(shù)為“無盡小數(shù)”C.c1c2……cn……。
   

2. 這個證明的難點在于，得理解n是在“由1向無窮”變化著，所以這個無盡小數(shù)的n位不足近似在不斷靠近它，無限過程的靠近，即是相等。所以小于一切不足近似就會取到所有小于這個無盡小數(shù)的有理數(shù)，即下組。上組同理，所以這種分類得到的兩個沒有公共元素的集合覆蓋了所有有理數(shù)。——符合“有理數(shù)分劃”的定義。
   

自此我們得到，任取“無盡小數(shù)”，都有實數(shù)與其對應。

最后，書上又對“無盡小數(shù)”對應實數(shù)的“唯一性”進行了驗證——

意思是說——

1. “n位不足近似”與“n位過剩近似”相差1/10^n，這由它們的定義可知——對于任意無盡小數(shù)C.c1c2……cn……，它的“n位不足近似”是C.c1c2……cn，它的“n位過剩近似”是C.c1c2……（cn+1），相差1/10^n；

2. 詳盡證明了，對于任意小的數(shù)e，都存在足夠大的自然數(shù)n，使得1/10^n<e的證明，顯然這是一個“定性式證明”，以“阿基米德公理”出發(fā)，我們總能找到足夠大的自然數(shù)n——即，往大里取值，自然數(shù)的取值是無限的——所以，我們只需要得到一個不等式滿足n>某個數(shù)的形式，在這個不等式成立的條件下，1/10^n<e恒成立即可?！笪覀兞牡角髽O限的解題思路都是這樣，邏輯起點，即“阿基米德公理”。

   而為了得到n>某個數(shù)的形式，我們用到了“阿基米德公里”和指數(shù)函數(shù)10^n的性質——

   a.我們首先觀察我們的目標1/10^n<e，我們發(fā)現(xiàn)n在較小數(shù)的那一邊；

   b.為了得到目標形式，必然要把n移到較大數(shù)的那一邊，我們選擇兩邊同時乘以10^n，又有“小于”的定義，得到——e*10^n>1——即10^n>1/e時，目標成立；

   c.我們知道，那么，我們已知由阿基米德公理，對于任何數(shù)a，都存在自然數(shù)n>a，在這里，a便是1/e；

   d.這里做一點簡單的思考，我們知道自然數(shù)的增長是一種等距離增長，0—1—2—……，相鄰自然數(shù)的距離是相等的（這也是定義自然數(shù)的“皮亞諾公理”中很重要的一條），而10^n的增長，不僅相鄰數(shù)之間存在距離，這個距離本身也在增長，而由起始點來看1—10—100—……，最小的距離也有自然數(shù)之間距離的9倍，故而，對任意的n，10^n>n；

   e.結合c、d，我們就得到了，我們的目標10^n>n>1/e——即1/10^n<e；

3. 結合1、2，結合我們在Ep12中詳細闡釋的那個小命題，我們很自然可以導出，一個“無盡小數(shù)”的“n位不足近似”與“n位過剩近似”在n趨于無限大之時，是相等的，等于這個“無盡小數(shù)”，亦即，由同一個“無盡小數(shù)”的“n位不足近似”與“n位過剩近似”而導出的“有理數(shù)分劃”是唯一的，即，一個“無盡小數(shù)”對應唯一的實數(shù)。

至此導出“無盡小數(shù)”與實數(shù)“一一對應”，導出了實數(shù)另一個定義方式——“無盡小數(shù)”。

由“無盡小數(shù)”與實數(shù)的“一一對應”出發(fā)，自然可以導出上圖那些推論，比如A.a1a2……ak99999……和B.b1b2……bj00000……這種形式的數(shù)，只可能來表示整數(shù)或者有盡小數(shù)，因為，整數(shù)和有盡小數(shù)對應9循環(huán)或者0循環(huán)，由于“一一對應”，所以反過來也成立，得到結論。

小數(shù)按照有盡，無盡，循環(huán)，不循環(huán)，顯然分為四類：

1. 有盡循環(huán)（含整數(shù)）；

2. 有盡不循環(huán)；

3. 無盡循環(huán)；

4. 無盡不循環(huán)。

其中前三種都可以統(tǒng)一在“無盡循環(huán)小數(shù)”的形式下，為“有理數(shù)”，那么由“無理數(shù)”的樸素定義——“不是有理數(shù)的實數(shù)”——可以得到，第4種即為“無理數(shù)”的定義——“無盡不循環(huán)小數(shù)”。

另外，教材表明，我們在研究無理數(shù)時，常常使用工具——無理數(shù)的“n位近似”，我們只需要在最后令n趨向于無窮大，即可以等效于直接研究“無理數(shù)”本身。

如果想進一步了解“無盡小數(shù)”的寶寶，可以看看“華師”《數(shù)學分析》的第一章和附錄部分，附錄部分理解起來是有一點點復雜的；或者看看張筑生老師的《數(shù)學分析新講》第一冊，實數(shù)部分有一小部分看起來也是有一丟丟繞的——當然，也可以等以后老碧發(fā)文闡釋。

今天聊到這里，下一周——新紀元！