整理史濟(jì)懷老師視頻課中關(guān)于常微分方程的內(nèi)容，然后繼續(xù)聊“無(wú)差異曲線”。

part 1 史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分

&2.一階微分方程

一階微分方程——形如F（x，y，y'）=0的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的一階導(dǎo)數(shù)的方程。

&2.2齊次方程

（續(xù)上）????

例子——解方程dy/dx=y/x+（x^2+y^2）^（1/2）/x

解：令y=ux，由dy/dx=y/x+（x^2+y^2）^（1/2）/x得到d（ux）/dx=ux/x+[x^2+（ux）^2]^（1/2）/x=u+（1+u^2）^（1/2）|x|/x——

a.當(dāng)x>0時(shí)

1. d（ux）/dx=u+（1+u^2）^（1/2）；

2. u求導(dǎo)為u'=du/dx，x'=1；

3. 則由函數(shù)乘法求導(dǎo)法則知：左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u=右式，即x（du/dx）+u=u+（1+u^2）^（1/2），即x（du/dx）=（1+u^2）^（1/2）——回歸到變量分離的類型；

4. 將相同變量移到一側(cè)：du/（1+u^2）^（1/2）=dx/x；

5. 兩邊積分得到，ln[u+（1+u^2）^（1/2）]=ln x+ln c；

6. 底數(shù)相等，u+（1+u^2）^（1/2）=cx；

7. 將u=y/x代入，左邊=y/x+[1+（y/x）^2]^（1/2）=y/x+[（x^2+y^2）/x^2]^（1/2）=y/x+[（x^2+y^2）]^（1/2）/x=右邊，即y/x+[（x^2+y^2）]^（1/2）/x=cx；

8. 解得方程：y+[（x^2+y^2）]^（1/2）=cx^2。——到這一步即可，記作A式。

   也可以化簡(jiǎn)得好看一些（手動(dòng)狗頭）：

9. 左右同時(shí)乘以y-[（x^2+y^2）]^（1/2）：左邊=y^2-（x^2+y^2）=-x^2，右邊=cx^2{y-[（x^2+y^2）]^（1/2）}；

10. 左邊=右邊：-x^2=cx^2{y-[（x^2+y^2）]^（1/2）}，即y-[（x^2+y^2）]^（1/2）=-1/c——記作B式；

11. 將A、B式相加得：2y=cx-1/c，即y=（cx-1/c）/2，即為所求解。

b.x<0時(shí)，結(jié)果一致。

可化為齊次方程/可分離變量的方程——這部分內(nèi)容和同濟(jì)內(nèi)容大同小異

定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0時(shí)為齊次方程，當(dāng)c和c1至少有一個(gè)不為0時(shí)，可以做相關(guān)變換，使其轉(zhuǎn)化為齊次方程，令——

1. x=X+h，則dx=dX；

2. y=Y+k，則dy=dY；

3. 1、2中h和k是待定的常數(shù)，所以我們要列方程組，解出它們，這部分內(nèi)容，涉及到了《線性代數(shù)》里的克萊姆法則。——我們由這個(gè)方程組解的有無(wú)，來(lái)判定，這種類型的微分方程，轉(zhuǎn)化的方式。

過(guò)程——

1. ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
   

2. dY/dX=dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；

3. 因?yàn)?中方程應(yīng)該滿足齊次方程的形式，故而得到方程組ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；

4. 由克萊姆法則，當(dāng)行列式ab1-a1b不等于0的時(shí)候，方程組有解，我們解出對(duì)應(yīng)的k與h，將原方程轉(zhuǎn)化為dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；

5. 由克萊姆法則，當(dāng)行列式ab1-a1b=0的時(shí)候，則a1/a=b1/b=l，將l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；

   我們令v=ax+by，則dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；

6. 又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是關(guān)于x的函數(shù)；

   則dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，轉(zhuǎn)化為一個(gè)可分離變量的微分方程。

part 2?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》第三章：效用論——

第一節(jié)引入效用的概念——

效用——效用是指對(duì)商品滿足人的欲望的能力評(píng)價(jià)，或者說(shuō)，效用是指消費(fèi)者在消費(fèi)商品時(shí)，所感受到的滿意程度?！环N主觀心理評(píng)價(jià)。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計(jì)量單位。

2. 序數(shù)效用論：無(wú)差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

無(wú)差異曲線——無(wú)差異曲線是用來(lái)表示消費(fèi)者偏好相同的兩種商品的所有組合的。——它是表示能夠給消費(fèi)者帶來(lái)的效用水平或滿足程度的兩種商品的所有組合的。

效用函數(shù)——效用函數(shù)表示某一商品組合給消費(fèi)者所帶來(lái)的效用水平。

效用函數(shù)公式——U=f（X1，X2）=U'——X1，X2分別為兩種商品的數(shù)量：U為效用水平，U'為常數(shù)，表示一個(gè)不變的效用水平。

無(wú)差異曲線基本特征（這里和平新喬書上一模一樣）——

1. 由于通常假定效用函數(shù)是連續(xù)的，所以，在同一坐標(biāo)平面上的任何兩條無(wú)差異曲線之間，可以有無(wú)數(shù)條無(wú)差異曲線；

2. 在同一坐標(biāo)平面圖上的任何兩條無(wú)差異曲線均不會(huì)相交；

3. 無(wú)差異是凸向原點(diǎn)的。

明天開(kāi)始邊際替代率。