前言

又“拋棄”了b站幾天，再次回來更這擱置的下篇。

這次我們要談的是一階分式遞推。

在此之前，我們要講講一階分式函數(shù)(~表系數(shù))的復(fù)合運算

記，

則有：

誒？我們看這系數(shù)的變化，這跟矩陣的乘法非常類似耶！

記矩陣，

則

因此，要算一次分式的復(fù)合運算，可以等價為計算其系數(shù)矩陣的乘積

即將類比為

ps:注意這里是“類比”而不是相等，右邊矩陣算出的是第1行和第2行分別對于原式中的分子和分母

這是極大的一步突破！目前個人認(rèn)知有限只通過上述暴算證明了其可類比性，或許有更底層的邏輯尚未挖掘，留予后續(xù)思考[滑稽]

舉個例子練練手：

已知

求

寫出上述函數(shù)對應(yīng)的系數(shù)矩陣：

根據(jù)由里到外的順序，以此進(jìn)行矩陣乘法運算

因此

有了以上鋪墊，我們就能推導(dǎo)一階分式遞推(c表系數(shù))

記，則

于是有：

，

以此類推，我們發(fā)現(xiàn)，求下一項就是把上一項的值代回函數(shù)的自變量x中，要求就要對函數(shù)自身復(fù)合n-1次。而是一階分式函數(shù)，根據(jù)上面的推導(dǎo)，我們可將復(fù)合運算等價為矩陣運算來研究。由于是自身復(fù)合，所以復(fù)合n-1次，那么矩陣就乘以n-1次方

舉個例子，已知，

類比為

于是構(gòu)成遞推

我們要計算，因此要作n-1次變換，即

處理矩陣次方運算，同樣采用對角化，

代入化簡得：

還原分式，即：

稍加化簡，即得：

也即上下同除，以及部分繁分?jǐn)?shù)化簡

有了這個背景，我們就可以證明一階分式遞推中一些神秘的周期結(jié)論了

如：已知，證明其是周期為3的數(shù)列

通過暴力迭代可以證明，而前文我們已經(jīng)鋪墊了利用矩陣將這一迭代進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化的方法，于是我們可從更高的視角來欣賞這一變換

化為標(biāo)準(zhǔn)形式,類比為矩陣：

系數(shù)矩陣為：

經(jīng)計算得，這時化為一個非零系數(shù)乘一個單位陣的形式，于是周期T=4

為什么有個非零系數(shù)也可以呢？答案是一階分式系數(shù)的齊次性

矩陣4次方運算，即

還原分式，即：

注意這里分子分母的-1可約去，也即系數(shù)的齊次性，故單位陣前存在非零系數(shù)是允許的

我們再來看看系數(shù)矩陣的特征根：

于是對角化后，有：

其中

于是有

因此周期為3。而這，竟也是特殊輻角的旋轉(zhuǎn)周期性造成的！也即從實軸開始以每次的單位轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)3次恰好回到實軸

再如：

已知，證明其是周期為3的數(shù)列

同理，化為標(biāo)準(zhǔn)形式

系數(shù)矩陣：

有：

于是周期為3

系數(shù)矩陣特征根為：

因此也是旋轉(zhuǎn)3次后回到實軸，與前例道理相同

同樣，對角化的處理也在系數(shù)矩陣可對角化時使用，因此也還存在沒有解決的情況，也即特征根為重根的情況，也先遺留于此后續(xù)再解決。

數(shù)學(xué)知識，是多么的美妙兼強大！許多云里霧里的“套路”也好，證明超出高中范圍的“定理”也罷，我愿通過后續(xù)的學(xué)習(xí)與鉆研，把先前的“迷霧”驅(qū)散，沖破應(yīng)試的罩子去探尋數(shù)學(xué)那一份真實而優(yōu)雅的美！

哈哈哈哈，我還是依舊的中二，盡量別活成自己討厭的樣子~(