????溫馨提示：本文上半部分并不適合初中學(xué)生尤其是八年級(jí)下或九年級(jí)上的學(xué)生，為了考試不丟分請(qǐng)閱讀下半部分跳過正文，本文下半部分帶有二次根式的總結(jié)復(fù)習(xí)材料，有需要的點(diǎn)個(gè)收藏啊??

? ? 哈嘍，我是翠花同學(xué)（平行四邊形快學(xué)一半了剛想起來更這個(gè)??）。在人教八下數(shù)學(xué)書上我們知道，二次根式的被開方數(shù)是不能小于0的，因?yàn)闆]有實(shí)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)，但讓我們想象一下，如果有一個(gè)數(shù)，它的平方是個(gè)負(fù)數(shù)，這樣根號(hào)下的數(shù)就可以擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù)了。我們就讓這個(gè)數(shù)的平方是-1吧（畢竟其他負(fù)數(shù)除以-1都是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)），這樣所有的根號(hào)下是負(fù)數(shù)的所謂“二次根式”都可以比較方便的表示出來，比如，在簡單一些，把這個(gè)“平方為-1的數(shù)”表示為吧，這樣就可以得到，其他這樣的“數(shù)”都可以這么表示，這樣，就具有了單位的意義。

????但是，如果我們稍加計(jì)算就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，如果我們算一算，運(yùn)用剛才的理論，那么把變成，把變成，那么這么乘起來應(yīng)該是，但根據(jù)二次根式乘法法則應(yīng)該是，如果這倆方法都是正確的，它倆的結(jié)果應(yīng)該是相等的，可這倆也不相等?。?/p>

????現(xiàn)在擺在我們面前的只有三條路：

????????1.對(duì)于的假設(shè)是錯(cuò)誤的，或者是對(duì)于的運(yùn)算是錯(cuò)誤的，需要對(duì)“”進(jìn)行修正

????????2.二次根式乘法法則是錯(cuò)誤的，該法則具有局限性，需要對(duì)法則進(jìn)行擴(kuò)展

????????3.我是錯(cuò)的，含有的數(shù)不可以用二次根式乘法法則運(yùn)算，需要單獨(dú)的運(yùn)算法則

????很抱歉，這個(gè)我并不能用正常的物理方法或者實(shí)數(shù)運(yùn)算法去證明，而且初中并沒有擴(kuò)展到所謂的“”這個(gè)數(shù)，僅能夠通過一些文獻(xiàn)來找到答案。值得慶幸的是，關(guān)于這坨詭異的東西，我還真的在百度百科上找到了答案（百度百科永遠(yuǎn)的神?。?，問題其實(shí)在我。首先，并不是實(shí)數(shù)，它被稱為虛數(shù)，有專門的的運(yùn)算法則；其次，二次根式乘法法則是正確的，沒有任何問題，真正的二次根式都是實(shí)數(shù)，都符合二次根式乘法法則，二次根式乘法法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是完全正確的。

????當(dāng)我真正的去理解虛數(shù)這玩意時(shí)，問題又來了，這玩意沒法在數(shù)軸上表示，咋比較大小呢？但仔細(xì)想想，這玩意是虛的，沒有形狀、沒有長度、沒有尺寸，更不可能有大小。那……我如果給這個(gè)虛數(shù)加上一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)數(shù)有大小嗎？一開始我覺得有點(diǎn)離譜，就像一只雞加上一條魚等于什么（是東北特色鐵鍋燉！即答doge），倆玩意加不在一塊去。然后百度百科打腫了我的臉……這種虛數(shù)+實(shí)數(shù)的東西叫做復(fù)數(shù)（是的，你沒看錯(cuò)，是英語里的復(fù)數(shù)?。┻@玩意呢，也是比不了大小的，但是如果兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，那么它們倆的實(shí)數(shù)部分一定相等，虛數(shù)部分一定相等（而不會(huì)出現(xiàn)像2+3=4+1，但2≠4,3≠1這樣的情況），也是無法單獨(dú)比較大小的。復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減時(shí)，實(shí)數(shù)部分與實(shí)數(shù)部分相加減，虛數(shù)部分與虛數(shù)部分相加減（反正有乘法分配律，把提出來就好）。至于乘除法，就得老老實(shí)實(shí)的把根號(hào)底下的負(fù)數(shù)化簡成虛數(shù)的格式，然后讓即可，至于除法，類似于“分母有理化”，找出除數(shù)的“實(shí)數(shù)化因式”（比如a+bi的“實(shí)數(shù)化因式”就是a-bi，還有實(shí)數(shù)化因式是我自己編的詞，并不存在），然后像分母有理化那樣做就可以了。還算簡單，是吧……

????我們回過頭來再看看這玩意的一些神奇性質(zhì)。就是本身，是-1，而很有意思，我們可以把它看做，這樣把換做-1，就可以得到，同理我們可以得到，此時(shí)到這里一切正常，一旦我們開始計(jì)算時(shí)，情況就有點(diǎn)意思了，，把代進(jìn)去發(fā)現(xiàn)這個(gè)還是，然后是-1，是，是1……如此循環(huán)。到這里可以總結(jié)一下規(guī)律了，在的冪中，的指數(shù)為4n+1時(shí)，值為；當(dāng)的指數(shù)為4n+2時(shí)，值為-1；當(dāng)的指數(shù)為4n+3時(shí)，值為；當(dāng)的指數(shù)為4n時(shí)，值為1。當(dāng)然，n為正整數(shù)。

????至于的三角函數(shù)計(jì)算部分，實(shí)在抱歉，我們初二還沒有學(xué)習(xí)到三角函數(shù)，我不可以瞎說。

????好了，今天信息量夠大了，這是我第一次涉及數(shù)學(xué)的文章，也許寫的不夠好，還請(qǐng)多多指教。今天沒有作業(yè)，如有需要請(qǐng)仔細(xì)復(fù)習(xí)《二次根式》部分的知識(shí)

復(fù)習(xí)：

????1.有根號(hào)，且根號(hào)底下是非負(fù)數(shù)的東西是二次根式

（劃重點(diǎn)：根號(hào)下只要是非負(fù)數(shù)就可以，不用管開不開的出來）

????2.非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的平方就是這個(gè)數(shù)本身

????3.一個(gè)實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方根是這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值。

（劃重點(diǎn)：絕對(duì)值要注意正負(fù)，開字母出來時(shí)要注意判斷正負(fù)）

????4.二次根式在乘除的時(shí)候，根號(hào)先放外面，被開方數(shù)先乘除，如果結(jié)果不是最簡二次根式那就把結(jié)果化簡一下

????5.化簡一個(gè)不是最簡的二次根式很簡單，把被開方數(shù)寫成一個(gè)完全平方數(shù)和另一個(gè)數(shù)的形式，把完全平方數(shù)的算術(shù)平方根寫在根號(hào)外面，作為二次根式的“因數(shù)”，剩下的東西放在根號(hào)里面。對(duì)于被開方數(shù)含有分母的（不管是什么分母），把整個(gè)二次根式寫成一個(gè)分子、分母都是二次根式的形式，然后找到分母的有理化因式（比如的有理化因式就是，分母如果是多項(xiàng)式就用平方差公式，比如的有理化因式就是），分子分母都乘上這個(gè)有理化因式，再化簡一下就可以了。

????6.二次根式的乘除法也很簡單，把兩個(gè)非最簡二次根式化簡成為最簡二次根式，如果這兩個(gè)二次根式是同類二次根式（即被開方數(shù)相同），那么就將它們前面的"系數(shù)"相加（這樣的操作被稱為合并同類二次根式），如果這倆二次根式不相等，那么把它倆杵在那里就得了，它倆無法合并。

做題技巧：

????對(duì)于某些絕對(duì)值和二次根式作和等于一個(gè)式子的題，就拿下面這道題舉例子：

????已知：，求的值

????先分析根號(hào)下的數(shù)，一定是非負(fù)數(shù)（都說了忽略上文），所以，解這個(gè)不等式得，對(duì)應(yīng)到前面的絕對(duì)值處，把絕對(duì)值符號(hào)去掉就是，放到原式里就變成，移項(xiàng)化簡得，去掉根號(hào)變成，再移項(xiàng)得

????對(duì)于兩個(gè)二次根式和比大小這個(gè)問題，直接平方算就行

????（剩下的難題我還真沒想到有哪些，不妨在下面聊聊）

????應(yīng)該……兩周后……我更一期勾股定理的？（到時(shí)候再說