補(bǔ)碼是一個(gè)比較讓人煩惱的問題。

1：補(bǔ)碼的定義

從上述定義可以看出，對(duì)于負(fù)數(shù)來說，

這里的x代表的是一個(gè)負(fù)數(shù)，比如x=-101,n代表的是x這個(gè)負(fù)數(shù)不考慮符號(hào)位的數(shù)值的位數(shù)，在這里就等于3.圖2可以變?yōu)?br>

這意味著，一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼加上這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值將出現(xiàn)歸零的現(xiàn)象，比如

這里1011是-5的補(bǔ)碼，最高位是符號(hào)位，按照?qǐng)D3的定義，這里的n等于3，所以-5的補(bǔ)碼

1011加上-5的絕對(duì)值5，即0101，得出的答案是2的4次方，也就是2^（n+1）,而此時(shí)的結(jié)果已經(jīng)超出了上面的數(shù)字的位數(shù)（包括符號(hào)位4位），如果保留四位，則結(jié)果是0000，也就是說，一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼加上這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，會(huì)連同符號(hào)位一起歸零。

當(dāng)然，如果不算符號(hào)位，則就是3位數(shù)值部分相加

當(dāng)然也會(huì)歸零。

一個(gè)字節(jié)8位，如果采用原碼表示正整數(shù)（含0），可以表達(dá)0-255，即 2^8=256，一共256種狀態(tài)，從全0到全1的各種排列組合。如果要表示負(fù)數(shù)，則符號(hào)位需要占用一位（最高位，1代表負(fù)數(shù)，0代表正數(shù)），因此其絕對(duì)值最大范圍為0-127，即2^7=128，一共正負(fù)各128種狀態(tài)，如果不采用特殊處理，這時(shí)候0占用2個(gè)編碼，10000000即負(fù)0，和00000000即正0，數(shù)據(jù)表示范圍為-127到-0及+0到127，這樣總體上一個(gè)字節(jié)只有255種狀態(tài)，因?yàn)槠渲?具有正0和負(fù)0之分，這不符合數(shù)學(xué)意義也浪費(fèi)一個(gè)編碼。因此人們想到把負(fù)0利用起來，即當(dāng)遇到負(fù)數(shù)時(shí)，采用補(bǔ)碼來表示就可以解決這個(gè)問題，而遇到正數(shù)或0時(shí)還是保留原碼表示。因此這個(gè)負(fù)0通過補(bǔ)碼算法處理后自然而然地被利用起來，用來表示-128.

為了證明10000000這個(gè)負(fù)0代表-128補(bǔ)碼的正確性，考慮

因?yàn)?1111111是+127的原碼，上述運(yùn)算等于是計(jì)算了（-128+127）這個(gè)結(jié)果，很明顯其結(jié)果應(yīng)該是-1，而11111111正是-1的補(bǔ)碼，其它可以類推，因此將10000000代表-128補(bǔ)碼是正確的。

上述運(yùn)算還表明，補(bǔ)碼的重要功能就是把減法（127-128）運(yùn)算變成了加法（-128+127）運(yùn)算。

綜上為：

補(bǔ)碼：8位補(bǔ)碼能夠表示數(shù)的范圍是 -128~127。

3：變形補(bǔ)碼

對(duì)于小數(shù)來說，其補(bǔ)碼定義為

即小數(shù)補(bǔ)碼的定義中，其整數(shù)部分的那一位是用來表示符號(hào)位的。

圖6的定義也是針對(duì)小數(shù)的，其中的100是二進(jìn)制，表示數(shù)字4。這種定義就意味著每個(gè)小數(shù)有兩個(gè)符號(hào)位。

圖8為兩個(gè)正小數(shù)相加，這種情況并沒有發(fā)生溢出，這是因?yàn)檫@兩個(gè)小數(shù)都小于0.5，所以它們的和小于1.如果是00.11+00.10，則結(jié)果為01.01，這種情況下就發(fā)生了溢出，因?yàn)閮蓚€(gè)小數(shù)的和已經(jīng)超過了1.再比如

這是兩個(gè)負(fù)小數(shù)的補(bǔ)碼相加，其結(jié)果也沒有溢出。但如果仔細(xì)觀察，可以看出，相加的過程中是發(fā)生了由小數(shù)的最高位向符號(hào)位的進(jìn)位的，那為什么沒有產(chǎn)生溢出呢？這是因?yàn)?1.10101和11.10111這兩個(gè)小數(shù)補(bǔ)碼的數(shù)值部分都是大于0.5的，即意味著著兩個(gè)負(fù)小數(shù)的絕對(duì)值是小于0.5的，而兩個(gè)絕對(duì)值小于0.5的小數(shù)相加，其絕對(duì)值不可能大于1，而采用補(bǔ)碼相加的話，其相加的絕對(duì)值卻會(huì)超過1，因此會(huì)產(chǎn)生進(jìn)位，但由于是兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，即

11.11 =-0.75

+ 11.10 =-0.5

-------------------------

111.01 =-1.25保留小數(shù)部分=-0.25

其最高位的那個(gè)1去掉，剩下11.01，即上面兩個(gè)負(fù)小數(shù)的補(bǔ)碼相加所產(chǎn)生的進(jìn)位，被它們的符號(hào)位相加剛好抵消了。