? ? 前些日子有新聞?wù)f中國數(shù)學(xué)家成功證明微分幾何學(xué)的核心猜想，但通過仔細(xì)閱讀發(fā)現(xiàn)并不像文章標(biāo)題那么夸大，只提到成功證明了“哈密頓-田”和“偏零階估計”，然后就各種介紹微分幾何了。其實那些拓?fù)淅碚摽梢酝ㄟ^變換，成為我們熟悉的內(nèi)容，世界級猜想就不深入探討了，今天用初中知識說說根的變換問題，三次方程求根有一個很長很長的公式，不過那么麻煩的內(nèi)容一般都不是重點，今天利用根變換來看看不同結(jié)果的那些思惟吧！也許將來的你會根據(jù)變換思想舉一反三，將橢圓積分研究透徹呢。

首先看看韋達(dá)定理

? ? 就是根與系數(shù)的關(guān)系，如果n次方程

x?+a1x??1+a2x??2+…+an=0

有n個根，x1，x2，…，xn，那么每次拿出來1個根求和，其和為-a1，即

x1+x2+…+xn=-a1

每次拿出來不同的2個根取積，然后求和，其和為a2，即

x1x2+x1x3+…+x2x3+x2x4+…+xn-1xn=a2

以此類推，每次拿出來不同的k個根取積，然后求和，其和為[(-1)^k]ak，即

x1x2…xk+x1x2…xk-1xk+1+…+xn-k+1xn-k+2…xn=[(-1)^k]ak

……

x1x2…xn=(-1)?an

? ? 其實韋達(dá)定理還是很好證明的，就是待定系數(shù)法

以四次方程為例，如x?+x3-x2-x=0，易知

x1=0，x2=1，x3=-1，x4=-1

a1=1，a2=-1，a3=-1，a4=0

那么有

x1+x2+x3+x4=0+1-1-1=-a1

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=-1-1+1=a2

x1x2?x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=1=-a3

x1x2x3x4=0=a4

? ? 這樣我們就可以求根的變換了，可以計算四類根的變換，倍根變換，對稱根變換，冪根變換和倒根變換。

◇◆◇??1.倍根變換

? ? 就是要求一個方程，使其根是原方程根的k倍，這里就拿三次舉例子了，更高次的同理計算即可，這里用x3+bx2+cx+d=0來表示。

? ? 這個很簡單，新的方程三根的和就是-kb，再看下一項，拿出兩個根，由于每個根都是原來的k倍，那么就變成為k2c了，同理拿出來三個根乘積再求和就是-k3d了，因此新的方程就是

y3+kby2+k2cy+k3d=0

該方程的三個根是x3+bx2+cx+d=0三個根的k倍

◇◆◇??2.對稱根變換

? ? 所謂對稱根，就是求一個方程使其根為原方程根的對稱乘積之和，還是以前面的三次方程為例，這里所求新方程的根為x1x2，x1x3，x2x3

? ? 這樣三根之和就是原來方程中的c，拿出兩個根取積，再求和那么就變成

x12x2x3+x22x1x3+x32x1x2=x1x2x3(x1+x2+x3)=bd

最后一項就好求了，三個根的積就變成了d2了，那么所求的新方程為

y3-cy2+bdy-d2=0

◇◆◇??3.冪根變換

? ? 對于冪根變換，就是求一個方程，使其根是原方程根的k次冪，同樣以三次方程

x3+bx2+cx+d=0為例，如果原方程的根是x1，x2，x3，那么所求方程的根就是x1^k，x2^k，x3^k，這個比較復(fù)雜了，這里就需要遞推思想了，設(shè)

x1?+x2?+x3?=A0

x1+x2+x3=A1

…

x1^k+x2^k+x3^k=Ak

當(dāng)然這里不考慮有根為0的情況，如果根是0，那么0次冪就沒有意義了。

? ? 這里有個神奇的結(jié)論，以前的文章也曾經(jīng)提到過，就是

An+1+bAn+cAn-1+dAn-2=0

這個與方程的形式相一致，因為原方程就是前面的例子x3+bx2+cx+d=0

只是將x換成了A，這樣拿出兩個根求積再求和也方便了，就是根據(jù)2的對稱根變換求出對稱方程，然后再根據(jù)x換A 的方法，即可求出第二項，最后的根的乘積項很好求了，就是將原方程的d取n次冪即可。要注意的是必須事先求出前幾項才能推算下一項。

? ? 知道怎么算了吧？貌似有些迷茫，沒關(guān)系，后面有例子，到時候就能明確了。

◇◆◇??4.倒根變換

? ? 倒根，就是根的倒數(shù)了，這里也不考慮根為0的情況哦，同樣是前面的例子，即原方程為x3+bx2+cx+d=0

那么倒數(shù)和是

通分后，化簡得-c/d

? ? 找兩個根取積，然后求和就是

同理，通分化簡，結(jié)果是b/d

? ? 三個根的積就很簡單了

直接是(-1/d)，那么，所求新方程為

y3+(c/d)y2+(b/d)x+(1/d)=0

? ? 如果結(jié)合倒根變換與冪根變換，就能求出來次數(shù)是負(fù)的冪根變換了，要活學(xué)活用啊。此時你能想出冪是有理數(shù)的根變換么？

舉例說明

? ? 前些日子看到很正經(jīng)的高考題，2020年全國高考全國卷三，21題（壓軸大題），你能想象用初中知識來解么？那里出現(xiàn)的三次方程是x3-0.75x+C，今天就用它來做例子計算根變換的結(jié)果。

? ? 有種方法是化簡成三角函數(shù)算，若x=sint，那么

sin3t-0.75sint+C=0

sin(3t)=4C

很神奇吧，先不考慮怎么來的，為了舉例子，針對C=1/(4√2)來算吧，因此可知

sin(3t)=√2/2

x1=sin15°=0.25(√6-√2)

x2=-sin75°=-0.25(√6+√2)

x3=sin45°=√2/2

? ? 為啥是這仨數(shù)呢？告訴初中的你，正弦函數(shù)是周期的，對于高中同學(xué)這都不是問題吧？下面開始測試，我想將根變成原來的√2倍，那么

? ? 再瞧瞧對稱根的變換

? ???? 對于冪根變換，先求出其根是原來根的平方的方程，即

? ? 太簡單的次冪沒有說服力，來個四次吧，所求方程的根是原來方程根的四次冪，設(shè)ak=x1^k+x2^k+x3^k，

那么有

設(shè)bk=(x1^k)(x2^k)+(x1^k)(x3^k)+(x2^k)(x3^k)，根據(jù)對稱根方程

有

∴

? ? 最后求一下倒根變換，該課題就圓滿結(jié)束了，即