牛頓336、微分就是對(duì)函數(shù)的一個(gè)點(diǎn)及其鄰域作研究，作近似

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微分到底是個(gè)什么東西？——網(wǎng)友提問

…微、分、微分：見《牛頓321~335》…

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“其產(chǎn)生的意義是什么？”網(wǎng)友補(bǔ)充說。

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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tetradecane（上海交通大學(xué) 工學(xué)碩士在讀；編輯于 2019-11-03；66人贊同了該回答）：

1、微分是什么？

如下圖所示：

斜、率、斜率：見《牛頓289》。

o：英文名Omicron（大寫Ο，小寫ο），中文音譯：奧米克戎。是第十五個(gè)希臘字母。

小寫ο用于：高階無窮小函數(shù)。

…階，無、窮、無窮，小，無窮小，高階無窮?。阂姟杜ｎD280~282》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

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微分就是對(duì)函數(shù)的一個(gè)點(diǎn)以及其鄰域內(nèi)的內(nèi)容作研究，作近似。

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

如果近似得比較好，滿足一定條件，就稱為可微。

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設(shè)有函數(shù)y=f（x），當(dāng)x從x0開始，變化得非常微小，增加了△x的時(shí)候，我們嘗試用線性函數(shù)（即這一點(diǎn)的切線），來近似y的變化。

…變、化、變化：見《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說名…）

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…△：讀音是“德爾塔”。音標(biāo)為/delt?/。

在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時(shí)間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動(dòng)詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

…切、線、切線：見《牛頓288》…

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近似為y增加了k△X。

實(shí)際上y?增加了△y=k△X+E，誤差是E。

有些性質(zhì)比較好的函數(shù)，E=o（△X）是△X的高階無窮小，即lim（△X→0） o（△X）/△X=0，我們就稱y=f（x）在x=x0可微。

…性、質(zhì)、性質(zhì)：見《歐幾里得37》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍

v.限制；限定；限量；減量…]

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可以做一個(gè)簡(jiǎn)單的變形：

…簡(jiǎn)、單、簡(jiǎn)單：見《伽利略13》…

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△y/△X=k+o（△X）/△X，lim（△X→0）△y/△X=f’（x0）=k

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也就是說，一點(diǎn)可微，可推出該點(diǎn)可導(dǎo)，而且比例系數(shù)k?恰好就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

…比、例、比例：見《歐幾里得29》…

…系、數(shù)、系數(shù)：見《牛頓2》…

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見《牛頓288~294》…

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對(duì)于一元函數(shù)而言，一點(diǎn)可導(dǎo)也能推出該點(diǎn)可微，把上面過程逆過來即可。

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注：在自變量的同一變化過程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無窮?。ㄗC明見《牛頓309》）

2、為什么要線性近似？

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線性情況是最簡(jiǎn)單的情況，化曲為直，我們就可以輕松計(jì)算出其斜率、線下面積等等。

…計(jì)、算、計(jì)算：見《歐幾里得157》…

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求斜率就是求導(dǎo)，求線下面積就是積分。

數(shù)學(xué)處處都是這種化歸的思想。

…思、想、思想：見《歐幾里得154》…

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另外提一下微積分的意義：初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的臺(tái)階就是微積分。微積分使問題變難為易，變不可能為可能。

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初等數(shù)學(xué)，求面積，只能求正方形啊、矩形啊、三角形啊等等這種直邊圖形的面積，至多帶一個(gè)圓（其實(shí)圓面積公式，嚴(yán)格意義上來說，要用微積分才能推導(dǎo)出來）。

…公：見《歐幾里得1》…

…式、公式：見《歐幾里得132》…

…嚴(yán)、格、嚴(yán)格：見《歐幾里得125》…

…推、導(dǎo)、推導(dǎo)：見《歐幾里得7》…

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有了微積分，只要給出函數(shù)，隨便什么線下面積我都可以算出來了（當(dāng)然有的不能解析表達(dá)，但是至少我可以用積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，能達(dá)到任意精度）。

數(shù)學(xué)工具運(yùn)用到物理上，初等數(shù)學(xué)只能解決類似勻速直線的有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，微積分就能通過任何v-t函數(shù)算出s-t函數(shù)。

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…

…工、具、工具：見《歐幾里得161、162》…

…運(yùn)、用、運(yùn)用：見《伽利略29》…

…物、理、物理：見《歐幾里得139》…

…規(guī)、律、規(guī)律：見《歐幾里得43》…

…運(yùn)、動(dòng)、運(yùn)動(dòng)：見《伽利略9》…

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其它理工科方面也是類似。所以微積分使數(shù)學(xué)瞬間增大了應(yīng)用范圍，使數(shù)學(xué)向前邁進(jìn)了一大步。

…應(yīng)、用、應(yīng)用：見《歐幾里得181》…

…范、圍、范圍：見《歐幾里得39》…

6條評(píng)論：

2021-07-05，BackTech：感謝大佬！
2020-09-01，yuj：太牛逼了！通俗易懂簡(jiǎn)直！
2020-03-31，地震：妙??！果斷收藏了！

2020-02-15，風(fēng)過太平洋：“領(lǐng)域”這個(gè)詞用的好，近似應(yīng)該寫成線性近似，更為準(zhǔn)確的表達(dá)了這個(gè)微分的意義。
2019-11-03，今天長到一米六五了嗎：終于看到一個(gè)回答是我能輕易看懂并理解的了[痛哭表情]

2019-10-29，大碗寬面：感謝大佬

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“∑符號(hào)表示求和，∑讀音為sigma，英文意思為Sum，Summation，就是和。

請(qǐng)看下集《牛頓337、∑上下標(biāo)是什么意思？》”

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