牛頓389、拉格朗日中值定理發(fā)展簡史

?

拉格朗日中值定理（百度百科）：…

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…拉格朗日中值定理：見《牛頓376~388》…

發(fā)展簡史

?

人們對拉格朗日中值定理的認識可以上溯（sù）到公元前古希臘時代。

…認、識、認識：見《歐幾里得51》…

…溯：見《歐幾里得42》…

?

古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中得到如下結(jié)論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物弓形的面積。

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…

…家：掌握某種專門學(xué)識或從事某種專門活動的人：?！．嫛?。政治～?？茖W(xué)～。藝術(shù)～。社會活動～…見《歐幾里得92》…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

…結(jié)、論、結(jié)論：見《歐幾里得66》…

…切、線、切線：見《牛頓288》…

…結(jié)、論、結(jié)論：見《歐幾里得66》…

意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學(xué)》（1635年）的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。

…卡瓦列里（Cavalieri，F(xiàn)rancesco Bonaventura 1598～1647）：意大利數(shù)學(xué)家，積分學(xué)先驅(qū)者之一…

…觀、點、觀點：見《歐幾里得50、51》…

…事、實、事實：見《歐幾里得6、7》…

?

這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。

…形、式、形式：見《歐幾里得13》…

?

該定理是拉格朗日中值定理在幾何學(xué)中的表達形式。

…表、達、表達：見《伽利略40》…

（…《伽利略》：小說名…）

?

1797年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中首先給出了拉格朗日定理。

…解、析、解析：見《歐幾里得36》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

?

他給出的定理的最初形式是：“函數(shù)f（x）在x與x0之間連續(xù)，f’（x）在x與x0之間有最小值A(chǔ)與最大值B，則[f（b）-f（a）]/（b-a）必取A與B之間的一個值?！?/p>

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

?

拉格朗日給出最初的證明，但證明并不嚴格，他給的條件比現(xiàn)在的條件要強，他要求函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且他所用的連續(xù)也是直觀的，而不是抽象的。

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…嚴、格、嚴格：見《歐幾里得125》…

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見《牛頓288~294》…

…直觀：見《牛頓220》…

…抽、象、抽象：見《歐幾里得20、21》…

?

十九世紀初，在微積分嚴格化運動中，柯西給出了拉格朗日中值定理的嚴格證明。

…化：后綴。加在名詞或形容詞之后構(gòu)成動詞，表示轉(zhuǎn)變成某種性質(zhì)或狀態(tài)：綠～。美～。惡～。電氣～。機械～。水利～…見《歐幾里得2》…

…運、動、運動：見《伽利略9》…

?

在《無窮小計算教程概論》中，柯西證明了“如果導(dǎo)數(shù)f’（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則必存在一點ξ，使得f’（ξ）=[f（b）-f（a）]/（b-a）?！?/p>

…無、窮、無窮，小，無窮?。阂姟杜ｎD280》…

…計、算、計算：見《歐幾里得157》…

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第14個希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學(xué)上的隨機變量…

?

柯西又在《微分計算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為柯西中值定理。

…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

?

現(xiàn)代形式的拉格朗日中值定理是由法國數(shù)學(xué)家博（O.Bonnet）給出的，他不是利用導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，而是利用羅爾定理對拉格朗日中值定理進行了重新證明。

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

…羅爾定理：見《牛頓367~375》“羅爾中值定理”…

?

?

意義

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

?

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在理論和實際中具有極高的研究價值。

…應(yīng)、用、應(yīng)用：見《歐幾里得181》…

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

…實、際、實際：見《伽利略28》…

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

…價、值、價值：見《歐幾里得92》…

?

幾何意義

?

若連續(xù)曲線y=f（x）在A[a，f（a）]，B[b，f（b）]兩點間的每一點處都有不垂直于x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點P[ξ，f（ξ）]，使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。

?

運動學(xué)意義

?

對于曲線運動，在任意一個運動過程中，至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等于這個過程中的平均速率。

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

…速、率、速率：見《牛頓8》…

拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位。

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…
…系、統(tǒng)、系統(tǒng)：見《歐幾里得37》…

?

可利用拉格朗日中值定理對洛必達法則進行嚴格的證明，并研究泰勒公式的余項。

?

從柯西起，微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學(xué)的重要組成部分。

…工、具、工具：見《歐幾里得161、162》…

?

“拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

請看下集《牛頓390、柯西中值定理》”

若不知曉歷史，便看不清未來

歡迎關(guān)注嗶哩號“中國崛起呀”