本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.

翻譯：野呂侯奈因

僅供學(xué)習(xí)交流使用

譯者按：

? ? ? ?本書(shū)在幾何愛(ài)好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于二次曲線問(wèn)題的處理方式過(guò)于單一，希望能借翻譯本書(shū)的機(jī)會(huì)來(lái)推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

1.5. 作為圓的投影存在的二次曲線

???????給定一個(gè)圓，作出一條過(guò)其圓心并垂直于該圓所在平面的直線并于其上取一點(diǎn)．那么連接與圓周上的所有點(diǎn)就會(huì)構(gòu)成一個(gè)圓錐．考慮一個(gè)以不與軸線垂直的平面截圓錐的截面其與母線的全部交點(diǎn)．

???????接下來(lái)作出該圓錐的兩個(gè)內(nèi)切球其切于點(diǎn)和（圖1.20）．

設(shè)為圓錐面與平面的相交部分上任意一點(diǎn)，母線交兩內(nèi)切球于點(diǎn)和．則有與，由于從球外一點(diǎn)引球的兩條切線長(zhǎng)度相等，有．其中為圓錐中垂直于軸線的兩平面截母線所得線段，其長(zhǎng)度不因的選取而改變．因此圓錐面與的相交部分即為橢圓．而兩半軸間的比值由平面的傾斜程度決定并且顯然可以取任意值．故任何橢圓都可以用圓的投影作出．

????? ?可以相似地證明一個(gè)平行于圓錐的兩母線的割面，其截圓錐面所得圖形為雙曲線（圖1.21）．

???????最后，考慮當(dāng)割面只平行于一條母線的情況（圖1.22）．

???????設(shè)圓錐的內(nèi)切球切于點(diǎn)，該球切圓錐于平面上的一圓，而為平面與的交線．對(duì)于圓錐面與平面的相交部分上任意一點(diǎn)，設(shè)為母線與平面的交點(diǎn)，為在上的投影，于是由切線長(zhǎng)定理就有．另外，和都落在上，與的夾角等于與的夾角，而與的選取無(wú)關(guān)．而由兩線段與間成角相等，有．故有，即落在一條以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上．

???????于是所有非退化的二次曲線都可以用圓錐的截面作出，因此，這些曲線也被稱做圓錐截面線(conic section)或圓錐曲線（conic）．

????? ?我們注意到若將圓錐換成一個(gè)圓柱，經(jīng)由同樣步驟得到的截面就會(huì)變成橢圓．故橢圓也可以由圓的平行投影作出．

練習(xí)1. 試求橢圓中平行于某一方向的弦其中點(diǎn)軌跡．

解答. 考慮一個(gè)由平行投影作出的橢圓．則橢圓中平行弦中點(diǎn)就會(huì)對(duì)應(yīng)于圓中平行弦中點(diǎn)，而后者會(huì)落在圓的直徑上，故橢圓中弦中點(diǎn)的軌跡也會(huì)落在其直徑上（即過(guò)其中心的弦）．

練習(xí)2. 如何用直尺和圓規(guī)作出給定橢圓的兩焦點(diǎn)．

解答. 首先作出橢圓中兩平行弦．由上一題的結(jié)論，其中點(diǎn)所連直線為橢圓直徑．再作出另一直徑，便可以確定橢圓中心．由橢圓的對(duì)稱性，以為圓心作適當(dāng)直徑的圓，會(huì)交橢圓于構(gòu)成分別與橢圓的兩軸平行的矩形的四點(diǎn)．故可以作出一以短軸的一端點(diǎn)為圓心，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為半徑的圓，而其與長(zhǎng)軸交點(diǎn)即為焦點(diǎn)．

???????像這樣在圓錐中與割面相切的內(nèi)接球被稱作丹迪林雙球(Dandelin?spheres)．